Wie bestimme ich das Parameter a?
Hallo, wäre lieb, wenn mir jemand helfen könnte: f(x)= ax g(x)= x A= 2/3
Das ist eine Aufgabe von vielen... Könnte mir vielleicht jemand sagen, wie man ein Parameter a bestimmt?
(A ist der Flächeninhalt der zwischen dem Graphen zu f und dem zu g eingeschlossenen Fläche.)
Dankeschön, dass du dir die Zeit nimmst dir meine Frage durchzulesen.
LG Starli
3 Antworten
A. Die Lösung ist nicht eindeutig. Punktspiegelung der Lösungs im Koordinatenursprung ergibt eine weitere Lösung, für die sich das Vorzeichen von a ändert. Ich setze im Folgenden zusätzlich a > 0 voraus.
B. Integrationsgrenzen sind die Nullstellen der Differenzenfunktion g(x) -f(x)
(f(x) -g(x) ginge auch, spielt für die Nullstellen keine Rolle).
h(x) = x - ax² = x(1 - ax);
x1 = 0; x2 = 1/a.
h(x) ist eine Funktion zweiter Ordnung und hat höchstens zwei Nullstellen, also keine Nullstelle im Intervall [0, 1/a]. Die Fläche A ist daher höchstens bis auf das Vorzeichen das Integral über h(x) in diesen Grenzen.
H(x) = (int) h(x) dx = x²/2 - ax³/3 + C;
| H(x) | = 1/(2a²) - a/(3a³) - 0 = 1/(6a²);
Mit 2/3 = 1/(6a)² ist a² = 1/4, a = 1/2;
wie bereits anfänglich überlegt, existiert eine zweite Lösung a = -1/2 .
Vielleicht kommst du auf den Geschmack, was "Differenzenfunktionen ohne Nullstelle zwischen den zu berücksichtigenden Integrationsgrenzen" angeht. Die genannte Nebenbedingung ist allerdings wesentlich: Um die zwischen
f(x) = x³/3 -2x und g(x) = x
eingeschlossenen Fläche zu bestimmen, kannst du auch h(x) = f(x) - g(x) bilden, erhältst aber für H((x) = (int) h(x)dx zwischen [-3 ; 3] den Wert Null (weiß ich ohne zu rechnen aus Symmetriegründen), weil h(x) bei x = 0 das Vorzeichen wechselt.
Also "stückeln", Integrale in [-3; 0] und [0; 3] bestimmen und addieren. In dem konkreten Fall brauchst du nur einmal zu rechnen, weil die beiden Integrale (wieder aus Symmetriegründen) dem Betrage nach gleich sind.
Die eingeschlossene Fläche beträgt übrigens 27/2, falls du das als Übungsaufgabe verwenden wollen solltest... ;)
Integral bilden über Stammfunktion oder mittels GTR... da es zwischen zwei Graphen ist muss beide voneinander subtrahiert werden. Schau mal in deine Formelsammlung.
Ich komme noch nicht einmal auf die Grenzen (= das Integral).?!
f(x) = g(x)
ax^2 = x
und dann?
ax^2 -x = 0
x * (ax-1) = 0
x1= 0
ax-1 = 0 | +1
ax = 1
Hääh?
Dochdoch, weiter mit x 2= 1/a , denn von a ungleich 0 kann ausgegangen werden, :), siehe angegebene Lösung.
Hupps ...
f(x)= ax^2
Danke für deine erneute Hilfe. :)
Ja, a soll gößer als null sein ( a > 0 ).