Wie beschleunigt die Kugel?
Hallo kann mir jmd. meine Fragen beantworten? Beschleunigt sich eine Kugel gleichmäßig wenn sie eine geneigte Ebene hinunter rollt? Wie kann ich die Beschleunigung ausrechnen? Wie kann ich die Endgeschwindigkeit der Kugel für die längste Ablaufstrecke berechnen?
4 Antworten
Ich gehe mal von einer Kugel mit kugelsymmetrischer Massenverteilung aus. (Wenn wir eine Styroporkugel mit exzentrischer Bleieinlage haben, beschleunigt sie offensichtlich nicht gleichmäßig, wenn sie überhaupt losrollt.)
Ja, sie beschleunigt gleichmäßig, da sowohl die Masse als auch die Hangabtriebskraft als auch das (bremsende) Trägheitsmoment konstant sind.
Die Beschleunigung kannst du ausrechnen über die am Mittelpunkt angreifende Hangabtriebskraft und die bremsende Kraft durch die Winkelbeschleunigung. Letztere kannst du aus dem Trägheitsmoment und dem Kugelradius ausrechnen.
Du kannst auch den (momentanen) Auflagepunkt der Kugel als Bezugspunkt nehmen und das Trägheitsmoment um die zugehörige Achse über den Steinerschen Satz ausrechnen. (Geht natürlich auch mit direktem Integrieren, aber wozu einfach, wenn's auch kompliziert geht.)
(Wenn das zu hoch ist - leider hast du nicht dazugesagt, in welcher Klasse / welchem Semester welchen Studienfaches du bist.)
Die Endgeschwindigkeit kannst du z. B. über den Energiesatz ausrechnen (Rotationsenergie mitberücksichtigen!), oder über die Bewegungsgleichungen
v = a t
s = 1/2 a t^2
und hieraus t eliminieren.
Unter der Bedingung einer schlupffreien Bewegung und ohne
Luftwiderstand beträgt die Beschleunigung einer Kugel, unabhängig von ihrer
Masse und ihres Kugelradius, auf der geneigten Ebene:
a = 5/7 · g · sin α
Gruß, H.
Bewegung einer schlupffrei rollenden homogenen Kugel auf der
geneigten Ebene
Begriffserkärung
Beim einem homogenen Körper sind die Massenelemente im
gesamten Körper gleichmäßig verteilt, d.h., die Dichte ϱ ist konstant.
ϱ = m/V = konst.
Die Kugel rollt schlupffrei, wenn die Umfangsgeschwindigkeit v´ der Kugel und die Geschwindigkeit v, mit der sich der Massenmittelpunkt der Kugel hangabwärts bewegt, gleich groß sind.
v´ = v
Dazu ist es erforderlich, dass die Hangabtriebskraft kleiner als die Haftreibungskraft ist.
m · g · sin φ < µ · m · g · cos φ (φ … Neigungswinkel)
Der Luftwiderstand kann bei einer Kugel mit relativ großer
Masse und kleiner Geschwindigkeit vernachlässigt werden.
Die Ursache für die gleichmäßige Beschleunigung der Kugel
hangabwärts ist die Hangabtriebskraft. Sie setzt sich zusammen aus der Kraftkomponente F1, die die geradlinige gleichmäßig beschleunigte Bewegung der Kugel hangabwärts bewirkt und der Kraft F2, die das Drehmoment M = F2 · r = J · α und dieses wiederum die Winkelbeschleunigung α
erzeugt.
m · g · sin φ = m · a + J · α / r (1)
Das Trägheitsmoment J der Kugel ermittelt man mittels Integralrechnung.
J = 2/5 · m · r²
Es gilt außerdem: α = a/r
Mit Gleichung (1) folgt:
m · g · sin φ = m · a + 2/5 · m · r² a / r²
g · sin φ = 7/5 · a
a = 5/7 · g · sin φ
Gruß, H.
Du brauchst halt den Winkel der Ebene zur Waagrechten. Die Erdbeschleunigung von 9,81m/s^2 wirkt senkrecht. Teile die Beschleunigung in zwei Komponenten (waagrecht und in RIchtung der Ebene.
Letztere Komponente wirkt auf die Kugel.
Beispiel 20° Neigung nach unten ==> Beschleunigung in Richtung der Ebene = 9,81m/s^2 * sin(20°) = 3,355.. m / s^2
mit v = a * t berechnest Du die Geschwindigkeit
... gilt nur, wenn die Rotationsenergie der Kugel nicht berücksichtigt wird.
Ich kann dir da jetzt keine genaue Antwort drauf geben
Aber mir fällt dazu ein: ist das Material und die Größe also die Dichte der Kugel nicht relevant?
Oder findet das in einem luftleeren Raum statt?
Ja
Im Vakuum
Das war ja mein Gedanke dabei
Wenn man dann die Reibung weglässt dann ist die Kugel egal
Aber ne Rechnung dazu kenn ich trotzdem nicht
Du erkennst, dass m*a=m*g*sin(alpha) (Aus Impulssatz der schiefen Ebene), wobei alpha gleich dem Neigungswinkel der Ebene
Also ist deine Beschleunigung a = g*sin(alpha)
(Unter Vernachlässigung von Reibung, Luftwiderstand, Rotationsenergie, etc)
a = dv/dt
dv = a dt
v = integral (a dt) = integral (g*sin(alpha)*dt)
v = g*sin(alpha) * t + C
v(0) = 0:
C = 0
v = g*sin(alpha) * t
Ja Martin hat es ganz gut ausgedrückt
Ich denke der Fragesteller ist zufrieden mit euren antworten
Ich bin ehrlich gesagt ein wenig überfordert mit den ganzen antworten die genaue Aufgabe lautete:
1. Prüfen
Sie, ob eine Kugel, die eine geneigte Ebene hinunterrollt, sich gleichmäßig
beschleunigt bewegt.
2. Bestimmen
Sie die Beschleunigung der Kugel.
3. Berechnen
Sie die Endgeschwindigkeit der Kugel für die längste Ablaufstrecke.
Ich nehme an das von einer Kugel ausgegangen wird die an jeder Stelle die gleiche Dichte hat
Also eine 1m großer Luftballon rollt doch langsamer als ne kleine Bleikugel
Alleine schon wegen des windwiederstandes und der Reibung