Die momentane Änderungsrate wird durch die erste Ableitung f'(x) beschrieben. In diesem Fall suchst du nach dem Minimum dieser Funktion. Das Minimum einer Funktion findest du allgemein, indem du die Nullstellen der Ableitung suchst. In diesem Fall ist die Funktion, deren Minimum gesucht wird, bereits die Ableitung. Du musst also die Ableitung der Ableitung ermitteln (diese wird auch als zweite Ableitung bezeichnet und als f''(x) geschrieben).

Dann setzt du diese 2. Ableitung mit 0 gleich, um die Nullstellen zu erhalten.:

f''(x) = 0

Wenn du diese Gleichung auflöst, wirst du einen oder mehrere x-Werte erhalten. Dann setzt du einfach jeden dieser Werte f'(x), also in die erste Ableitung, ein. Der x-Wert, bei dem das Ergebnis am niedrigsten ist, ist die gesuchte Stelle.

In Anwendung auf die konkrete Aufgabe:

z(x) = 1,16x³ - 26,1x² + 148,3x

z'(x) = 3,48x² - 52,2x + 148,3

z''(x) = 6,96x - 52,2

Nullstelle von z''(x): 7,5

Da es nur eine Nullstelle gibt, müssen keine x-Werte verglichen werden.

Einsetzen in z(x)

z(7,5) = 133,5

Der gesuchte Punkt ist also P(7,5|133,5)

Beides funktioniert. Hängt nur davon ab, welche Bezeichnung (x oder y) du für welche Zahl gibst. Im ersten Beispiel heißt die erste Zahl x und die zweite y, im zweiten Beispiel heißt die erste Zahl y und die zweite x. Im Allgemeinen wäre es üblich, das erste Beispiel zu verwenden, aber das zweite funktioniert genauso.

Wenn du zusätzlich noch eine zweite Angabe hast (z. B. Die erste Zahl ist das dreifache der zweiten), musst du natürlich aufpassen, dass entweder in beiden Formeln die erste Zahl x und die zweite y nennst, oder es in beiden Formeln anders machst. Wenn du hier die Bezeichnungen vermischst, werden wahrscheinlich falsche Ergebnisse herauskommen.

Franz = a
Fritz = b

(1) b-5 = 6*(a-5)

(2) 2*(a+3) = b+3

(1) nach b auflösen:

b-5 = 6*(a-5)  |+5
b = 6*(a-5)+5
b = 6a-30+5
b = 6a-25  (1')

(1') in (2) einsetzen:

2*(a+3) = b+3
2*(a+3) = 6a-25+3
2a+6 = 6a-22  |-2a
6 = 4a-22  |+22
28 = 4a  |/4
7 = a

in (1') einsetzen:

b = 6a-25
b = 6*7-25 = 42-25 = 17

Das heißt, Franz ist 7 Jahre alt und Fritz 17 Jahre.

Aus deiner Gleichung 0=a+b+9 lässt sich ableiten, dass b=-a-9. Die Funktionsgleichung lautet also:

f(x) = ax^4 + (-a-9)x^2 + 9
f(x) = ax^4 - (a+9)x^2 + 9

Mit den gegebenen Informationen lässt sich dies nicht weiter vereinfachen. Anders ausgedrückt: man könnte hier jede beliebige reelle Zahl für a einsetzen, die Funktion würde immer alle gegebenen Bedingungen erfüllen.

Die letzten drei Gleichungen zeigen ein Gewicht unter 1000 g an, hier ist das angezeigte Gewicht also korrekt. Wir können die dritte und vierte Gleichung zusammenfassen: (der Einfachheit halber lasse ich das g hier weg.)

B + E = 800 | - E
B = 800 - E    -> (1)

B + C = 900 | (Einsetzen der Gleichung (1))
800 - E + C = 900 | - 800
- E + C = 100 | + E
C = 100 + E    -> (2)

Das kann in die zweite Gleichung eingesetzt werden. Hier wird ein Gewicht größer als 1000 angezeigt, wir wissen also nicht, ob die Anzeige stimmt. Wir wissen aber, dass das Gewicht größer als 1000 ist. Wir können also eine Ungleichung aufstellen:

C + E > 1000    -> (3)

Und in diese Ungleichung kann nun (2) eingesetzt werden:

100 + E + E > 1000 | - 100
2 E > 900 | /2
E > 450

In der fünften Gleichung steht:

A + E = 700

Da E > 450 ist, muss A < 250 sein, damit diese Anzeige stimmt. E ist also in jedem Fall größer als E. A kann als Lösung ausgeschlossen werden, weil es auf jeden Fall nicht das größte Gewicht hat.

Analog dazu die dritte Gleichung:

B + E = 800

Demnach ist B < 350, B ist also auch in jedem Fall kleiner als E.

Die vierte Gleichung besagt:

B + C = 900

Wenn B < 350, folgt daraus C > 550. Das untere Limit für C ist also größer als das für E, das heißt aber nicht unbedingt, dass C > E. E kann also noch nicht als Lösung ausgeschlossen werden.

Aus der ersten Anzeige der Waage folgt:

B + D > 1000

Da B < 350, muss D > 650 sein, damit dies stimmt.

Bis jetzt konnten A und B als Lösungen ausgeschlossen werden. Außerdem ist bekannt:

E > 450
C > 550
D > 650

Wie von man von hier aus weiter fortfahren müsste, weiß ich leider auch noch nicht. Ich hoffe, ich konnte dir dennoch weiterhelfen. Falls ich doch noch einen Lösungsweg finde, werde ich ihn unverzüglich hier posten.

Dafür muss man zunächst die horizontale Entfernung zu dem Zeitpunkt bestimmen, an dem die Höhe h = 2 Meter ist. Wenn man das in die Gleichung h(x) einsetzt, erhält man:

2 = -49/15 x²+3x+6,1 |-2
0 = -49/15 x²+3x+4,1

Mithilfe einer Lösungsformel für quadratische Gleichungen (entweder die abc-Formel oder die pq-Formel) erhält man:

x1 = -0,26027 und x2 = 0,32149
Wenn man davon ausgeht, dass die Entfernung in Metern positiv gemessen wird, ist hier nur die positive Lösung relevant.

Die horizontale Entfernung beträgt also ca. 0,32149 m. Gefragt ist aber nach der gesamten Entfernung. Diese kann mithilfe des Satzes des Pythagoras ermittelt werden. Dabei ist a die horizontale Entfernung, b die vertikale Entfernung, und c die Gesamtentfernung.
a²+b² = c²
(0,32149)²+b² = c²

Die vertikale Entfernung b ist die Starthöhe minus die 2 Meter Höhe, die noch übrig sind. Die Starthöhe ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts. Durch Umwandlung der Funktion in Scheitelpunktform erhält man für die Starthöhe ca. 6,7888 m

(0,32149)²+(6,7888)² = c²

c = 6.7964 m

Falls du mit Touchpad spielst: Häufig ist es voreingestellt, dass der Desktop angezeigt wird, wenn man mit drei Fingern nach unten streift. Und leider kann es vorkommen, dass auch Streifen mit einem oder zwei Fingern als drei Finger erkannt wird. Wenn das die Ursache sein könnte: Man kann die Touchgesten natürlich ändern, wie, hängt davon ab, welches Gerät/Touchpad-Treiber du benutzt.

Das linke Rettungsboot kann mit 24 Knoten fahren, dass sind 24*15 = 360 Seemeilen pro Stunde. Die Distanz, die das Boot fahren muss, ist gegeben: 65 Seemeilen. Es braucht also 65/360 = 13/72 Stunden, das sind 10 Minuten 50 Sekunden.

Um herauszufinden, wann das zweite Boot ankommen wird, brauchst du dessen Entfernung zur Unglücksstelle. Die kann über den Kosinussatz ermittelt werden:

Die gesuchte Länge des Dreiecks sei c, die gegebenen 55 km sind b und die 65 Seemeilen = 120,38 km sind a. Der gegebene Winkel ist γ. Dann gilt für c:

c² = a² + b² - 2ab cos(γ)
c² = 120,38² + 65² - 2*120,38*65 cos(51,6°)
c = 94,85

Da das die Distanz in km ist, wandeln wir sie wieder in Seemeilen um: 94,85 km = 51,2149028 Seemeilen

Das zweite Boot fährt mit 18 Knoten = 270 Seemeilen pro Stunde, demnach braucht es für eine Distanz von 51,2149028 Seemeilen genau 51,2149028/270 Stunden = ca. 680 Sekunden, also deutlich länger als das erste Boot.

Das heißt, dass erste Boot wird die Unglücksstelle zuerst erreichen.

(2x)^5 = (2^5)(x^5) = 32(x^5)

Ob das jetzt wirklich einfacher ist, muss wohl jeder für sich entscheiden, aber vermutlich ist es das, was gesucht ist.

Entweder hab ich irgendwas falsch gemacht, oder da ist gar kein Bild...

Wenn du gleichzeitig ALT + * drückst, öffnet sich der Formelassistent. Du kannst dann im Menü oben rechts einen Bruch auswählen und deine gewünschten Werte dort eintragen.

Die 52 Karten eines Sets bestehen aus je 13 Karten in den Farben Herz, Pik, Karo und Kreuz. Herz und Karo sind rote, Pik und Kreuz schwarze Farben. In jeder Farbe gibt es Karten mit den Zahlen von 2 bis 10, sowie einen Buben, König, eine Dame und ein Ass. Die Joker haben keine Farbe.

Es gibt also beispielsweise einen Pik König pro Set, das sind bei zwei Sets zwei Pik Könige, also ist die Wahrscheinlichkeit, einen zu ziehen, 2/110.

Die Formel für die Normalparabel lautet y = x²

Wenn die erste Koordinate gegeben ist, musst du nur den Wert für x einsetzen und das Ergebnis y ist die zweite Koordinate.

Wenn die zweite Koordinate gegeben ist, musst du diese für y einsetzen und die x-Werte suchen, für die x² = y gilt. Hier wird es meistens zwei Lösungen geben (x und -x).

In einem Quadrat mit Diagonale a ist die Seitenlänge  a/√2 . Wenn man nun die Diagonale verdoppelt, ist die Seitenlänge 2*a/√2 , also verdoppelt sich auch die gesamte Seitenlänge.

Die Fläche ist aber das Quadrat der Seitenlängen, und wenn man die Seitenlänge um den Faktor 2 verändert, verändert man die Fläche um 2² , d. h. die Fläche vervierfacht sich.

Eine rationale Zahl ist dadurch definiert, dass sie als Bruch a/b dargestellt werden kann, wobei a und b ganze Zahlen sind.

-(√4) = -2 = -2/1 , dabei sind -2 und 1 ganze Zahlen, deshalb ist -(√4) eine rationale Zahl. Dasselbe gilt für -(√16), das ist -4

Es muss jedoch beachtet werden, dass sich das alles auf die Quadratwurzel bezieht. Es gibt aber auch die dritte Wurzel, die vierte Wurzel etc.

Wenn man das obige Beispiel auf die vierte Wurzel anwendet, dann sagt dein Buch die Wahrheit. Die 4. Wurzel aus 4 ist irrational, die 4. Wurzel aus 16 ist genau 2 (ob das ganze positiv oder negativ ist, spielt für die Irrationalität keine Rolle).

Wenn du jedoch √(-4) bzw. √(-16) meinst, dass sind in der Tat irrationale Zahlen, egal ob es die 2., 3. oder irgendeine andere Wurzel ist.

Die Formel für die Höhenenergie ist

Eh = m*g*h

m ist die Masse des untersuchten Objekts in g, in diesem Fall m = 80 kg = 80 000 g

g ist die Gravitationsbeschleunigung, auf der Erde liegt sie immer bei ca. 9,81 m/s²

h ist der Höhenunterschied, also die Höhe des Objekts minus die Höhe des Nullniveaus. Das Nullniveau liegt hier beim Meeresspiegel (0 m) bzw. bei 6850 m

Es bedeutet soviel wie "Ich will nichts haben, was für mich so wertvoll ist, dass ich es nicht aushalten würde, wenn ich das verlieren würde"

Wenn der Graph von links oben nach rechts unten läuft, muss die Höhe negativ gekennzeichnet werden.

Wenn er von links unten nach rechts oben läuft, ist die Höhe positiv.

Wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe, dann handelt es sich bei dem Bohrkern nicht um einen Zylinder. Das liegt daran, dass der Graph der Funktion sich nach oben verjüngt, bis die x-Werte kleiner als der Radius des Bohrlochs sind. Würde man nun einen Zylinder abziehen, würde man auch einen Bereich abziehen, der zum ursprünglichen Rotationskörper Rg(x) gar nicht gehört, wie im Bild dargestellt.

Dieser Bereich muss also wieder abgezogen werden. Die Fläche, um die es sich handelt, ist gleich dem Integral im Bereich [0;0.5] der Funktion f(x) = 3(e^x)+3 wie im zweiten Bild zu sehen. Dessen Rotationskörper Rf(x) muss am Ende also wieder zum gesamten Volumen addiert werden.

Insgesamt lautet die Formel also:

Rg(x) - 3*pi + Rf(x)

Wie gesagt bin ich mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe. Wenn nicht, korrigiert mich bitte!