Die momentane Änderungsrate wird durch die erste Ableitung f'(x) beschrieben. In diesem Fall suchst du nach dem Minimum dieser Funktion. Das Minimum einer Funktion findest du allgemein, indem du die Nullstellen der Ableitung suchst. In diesem Fall ist die Funktion, deren Minimum gesucht wird, bereits die Ableitung. Du musst also die Ableitung der Ableitung ermitteln (diese wird auch als zweite Ableitung bezeichnet und als f''(x) geschrieben).

Dann setzt du diese 2. Ableitung mit 0 gleich, um die Nullstellen zu erhalten.:

f''(x) = 0

Wenn du diese Gleichung auflöst, wirst du einen oder mehrere x-Werte erhalten. Dann setzt du einfach jeden dieser Werte f'(x), also in die erste Ableitung, ein. Der x-Wert, bei dem das Ergebnis am niedrigsten ist, ist die gesuchte Stelle.

In Anwendung auf die konkrete Aufgabe:

z(x) = 1,16x³ - 26,1x² + 148,3x

z'(x) = 3,48x² - 52,2x + 148,3

z''(x) = 6,96x - 52,2

Nullstelle von z''(x): 7,5

Da es nur eine Nullstelle gibt, müssen keine x-Werte verglichen werden.

Einsetzen in z(x)

z(7,5) = 133,5

Der gesuchte Punkt ist also P(7,5|133,5)

f(x) = 1/(x-1)² lässt sich umschreiben als

f(x) = (x-1)^(-2)

Nun kannst du die Kettenregel anwenden:

f(x) = g(h(x); in diesem Fall g(x) = x^(-2); h(x) = x-1

f'(x) = g'(h(x))*h'(x); hier g'(x) = -2*x^(-3); h'(x) = 1

Deshalb:

f'(x) = -2*(x-1)^(-3)*(1) = -2(x-1)^(-3) = -2/((x-1)^(-3))

Beides funktioniert. Hängt nur davon ab, welche Bezeichnung (x oder y) du für welche Zahl gibst. Im ersten Beispiel heißt die erste Zahl x und die zweite y, im zweiten Beispiel heißt die erste Zahl y und die zweite x. Im Allgemeinen wäre es üblich, das erste Beispiel zu verwenden, aber das zweite funktioniert genauso.

Wenn du zusätzlich noch eine zweite Angabe hast (z. B. Die erste Zahl ist das dreifache der zweiten), musst du natürlich aufpassen, dass entweder in beiden Formeln die erste Zahl x und die zweite y nennst, oder es in beiden Formeln anders machst. Wenn du hier die Bezeichnungen vermischst, werden wahrscheinlich falsche Ergebnisse herauskommen.

Franz = a
Fritz = b

(1) b-5 = 6*(a-5)

(2) 2*(a+3) = b+3

(1) nach b auflösen:

b-5 = 6*(a-5)  |+5
b = 6*(a-5)+5
b = 6a-30+5
b = 6a-25  (1')

(1') in (2) einsetzen:

2*(a+3) = b+3
2*(a+3) = 6a-25+3
2a+6 = 6a-22  |-2a
6 = 4a-22  |+22
28 = 4a  |/4
7 = a

in (1') einsetzen:

b = 6a-25
b = 6*7-25 = 42-25 = 17

Das heißt, Franz ist 7 Jahre alt und Fritz 17 Jahre.

Wenn du nicht die Zeitzone wechselst und während der Fahrt keine Zeitumstellung geschieht, wirst du um 11:07 Uhr ankommen.

Aus deiner Gleichung 0=a+b+9 lässt sich ableiten, dass b=-a-9. Die Funktionsgleichung lautet also:

f(x) = ax^4 + (-a-9)x^2 + 9
f(x) = ax^4 - (a+9)x^2 + 9

Mit den gegebenen Informationen lässt sich dies nicht weiter vereinfachen. Anders ausgedrückt: man könnte hier jede beliebige reelle Zahl für a einsetzen, die Funktion würde immer alle gegebenen Bedingungen erfüllen.

Mathematisch ausgedrückt: "Der Unterschied" ist ein binärer Operator, das heißt er nimmt genau zwei Argumente auf. In dieser Hinsicht ist er so ähnlich wie z. B. die Addition, diese funktioniert auch nur mit zwei Argumenten:

1 + 2 ist z. B. der Additionsoperator + mit zwei Argumenten (1 und 2). Damit kann der Ausdruck berechnet werden: 1 + 2 = 3

1 + kann dagegen nicht berechnet werden, hier fehlt das zweite Argument.

Bei deiner Frage geht es um den "Unterschied zwischen..." An dieser Stelle müssten jetzt zwei Argumente folgen, es gibt aber nur eins, das Huhn. Damit ist diese Frage auch "nicht berechenbar" bzw. sie kann nicht sinnvoll beantwortet werden.

Die kurze Kathete ist a, die lange b, die hypotenuse c (Die Einheiten werde ich der Einfachheit halber weglassen)::

a = 3/4 * b
4/3 * a = b  (A)

c = b + 4  | Einsetzen von (A)
c = 4/3 * a + 4  (B)

Satz des Phytagoras:

a² + b² = c²  | Einsetzen von (A)
a² + (4/3 * a)² = c²  | Einsetzen von (B)
a² + (4/3 * a)² = (4/3 * a + 4)²  | Auflösen mit 1. binomischer Formel
a² + 16/9 * a² = 16/9 * a² + 2 * (4/3 * a) * 4 + 16  | Vereinfachen
25/9 * a² = 16/9 * a² + 32/3 * a + 16
a² - 32/3 * a - 16 = 0  | Auflösen mithilfe der Lösungsformel für quadr. Gleichungen

a1 = 12; a2 = -4/3

Da die Länge einer Seite eines Dreiecks nicht negativ sein kann, ergibt nur die erste Lösung hier Sinn. Das heißt, a = 12

Einsetzen in (A):

4/3 * 12 = b
16 = b

Einsetzen in (B)

c = 4/3 * 12 + 4
c = 20

f(x) = 2+1/(x-1)

Für den Logarithmus gilt allgemein: ln(a)+ln(b) = ln(a*b); ln(a)-ln(b) = ln(a/b).

Dein Beispiel kann man also so vereinfachen:

ln(x+1)-ln(x)+ln(1/x) =
ln((x+1)/x)+ln(1/x) =
ln(1+1/x)+ln(1/x) =
ln((1+1/x)*1/x) =
ln(1/x+1/x²)

Für Logarithmen mit Summen gilt:

ln(a+b) = ln(a)+ln(1+b/a)

ln(1/x+1/x²) =
ln(1/x)+ln(1+(1/x²)/(1/x)) =
ln(x^(-1))+ln(1+1/x)

Weiterhin gilt für Logarithmen mit reellen Exponenten:
ln(x^r) = r*ln(x)
In dem Beispiel also:

ln(x^(-1))+ln(1+1/x) =
-ln(x)+ln(1+1/x)

All diese Regeln gelten im übrigen nicht nur für den natürlichen Logarithmus, sondern für den Logarithmus zu einer beliebigen Basis b, solange b > 0 und b ≠ 1 erfüllt sind.

(4x+3a)²-(6x-2a)²+(x+a)(x-a) = -(4x-2a)²-3x²

(4x)²+2*4x*3a+(3a)²-((6x)²-2*6x2a+(2a)²)+x²-a² = -((4x)²-2*4x*2a+(2a)²)-3x²

16x²+24xa+9a²-36x²+24xa-4a²+x²-a² = -16x²+16xa-4a²-3x²

-19x²+48xa+4a² = -19x²+16xa-4a²

32xa+8a² = 0

4xa+a² = 0

a(4x+a) = 0

Eine mögliche Lösung der Gleichung wäre also a = 0, wobei in diesem Fall x jeden Wert haben kann. Ansonsten wären alle Lösungen der Gleichung

4x+a = 0

Ebenfalls denkbar.

Die Einheiten werde ich hier der Einfachheit halber weglassen.

Höhe des Quaders: h
Länge: l
Breite: b
Volumen: V

(1) V = h*l*b = 360
(2) l = 2*h
(3) b = 5

Einsetzen von (2) und (3) in (1):

360 = h*(2*h)*5
360 = h²*10
36 = h²
h = 6

Die Höhe des Quaders muss also 6 cm betragen.

Die Gleichung für y1 hast du richtig bestimmt. Die Gleichung für y2 ist aber falsch. Richtig wäre folgende Gleichung:

y2 = -4x+6

Folgendermaßen kann man darauf kommen:

Die Gerade schneidet die Punkte (0; 6) und (1; 2). Daraus folgt:

f(0) = 6
6 = m*0+n
6 = n

f(1) = 2
2 = m*1+n
2 = m+6 |-6
-4 = m

f(x) = -4x+6

Für die Einheiten km, m, dm, cm, mm gelten folgende Umrechnungszahlen:

1 km = 1000 m
1 m = 10 dm
1 dm = 10 cm
1 cm = 10 mm

Für km -> m gilt also die Umrechnungszahl 1000, ansonsten 10.

Deine Aufgabe kann man also folgendermaßen berechnen:

1 m = 10 dm, daher 2 m = 2*10 dm = 20 dm

1 dm = 10 cm, daher 20 dm = 20*10 cm = 200 cm

Ja, das wurde alles richtig berechnet. Gut gemacht!

Die letzten drei Gleichungen zeigen ein Gewicht unter 1000 g an, hier ist das angezeigte Gewicht also korrekt. Wir können die dritte und vierte Gleichung zusammenfassen: (der Einfachheit halber lasse ich das g hier weg.)

B + E = 800 | - E
B = 800 - E    -> (1)

B + C = 900 | (Einsetzen der Gleichung (1))
800 - E + C = 900 | - 800
- E + C = 100 | + E
C = 100 + E    -> (2)

Das kann in die zweite Gleichung eingesetzt werden. Hier wird ein Gewicht größer als 1000 angezeigt, wir wissen also nicht, ob die Anzeige stimmt. Wir wissen aber, dass das Gewicht größer als 1000 ist. Wir können also eine Ungleichung aufstellen:

C + E > 1000    -> (3)

Und in diese Ungleichung kann nun (2) eingesetzt werden:

100 + E + E > 1000 | - 100
2 E > 900 | /2
E > 450

In der fünften Gleichung steht:

A + E = 700

Da E > 450 ist, muss A < 250 sein, damit diese Anzeige stimmt. E ist also in jedem Fall größer als E. A kann als Lösung ausgeschlossen werden, weil es auf jeden Fall nicht das größte Gewicht hat.

Analog dazu die dritte Gleichung:

B + E = 800

Demnach ist B < 350, B ist also auch in jedem Fall kleiner als E.

Die vierte Gleichung besagt:

B + C = 900

Wenn B < 350, folgt daraus C > 550. Das untere Limit für C ist also größer als das für E, das heißt aber nicht unbedingt, dass C > E. E kann also noch nicht als Lösung ausgeschlossen werden.

Aus der ersten Anzeige der Waage folgt:

B + D > 1000

Da B < 350, muss D > 650 sein, damit dies stimmt.

Bis jetzt konnten A und B als Lösungen ausgeschlossen werden. Außerdem ist bekannt:

E > 450
C > 550
D > 650

Wie von man von hier aus weiter fortfahren müsste, weiß ich leider auch noch nicht. Ich hoffe, ich konnte dir dennoch weiterhelfen. Falls ich doch noch einen Lösungsweg finde, werde ich ihn unverzüglich hier posten.

Die Wassermenge, die pro Stunde abgeleitet werden kann, ist 3600 mal die Wassermenge pro Sekunde. Bei dieser handelt es sich um das Volumen eines Prismas. Die Höhe des Prismas beträgt 1,5 m, denn dass ist der Wasserfluss pro Sekunde.

Die Grundfläche des Prismas ist der beschriebene Querschnitt. Die Tiefe des Kanals beträgt 2 m, gesucht ist also der Flächeninhalt der Funktion f(x) = x² zwischen der y-Achse und y = 2.
 Dieser Flächeninhalt mal 1,5 m mal 3600 ist das Volumen, das pro stunde abfließen kann.

Wenn die Potenz negativ ist, heißt das einfach, dass das Ergebnis der Kehrbruch derselben Rechnung mit der positiven Potenz ist, d. h.:

4^(-⅔) = 1/(4^⅔)

Das kann man dann ganz einfach vereinfachen:

1/(4^⅔) = 1/(³√(4²)) = 1/(³√16)

Dafür muss man zunächst die horizontale Entfernung zu dem Zeitpunkt bestimmen, an dem die Höhe h = 2 Meter ist. Wenn man das in die Gleichung h(x) einsetzt, erhält man:

2 = -49/15 x²+3x+6,1 |-2
0 = -49/15 x²+3x+4,1

Mithilfe einer Lösungsformel für quadratische Gleichungen (entweder die abc-Formel oder die pq-Formel) erhält man:

x1 = -0,26027 und x2 = 0,32149
Wenn man davon ausgeht, dass die Entfernung in Metern positiv gemessen wird, ist hier nur die positive Lösung relevant.

Die horizontale Entfernung beträgt also ca. 0,32149 m. Gefragt ist aber nach der gesamten Entfernung. Diese kann mithilfe des Satzes des Pythagoras ermittelt werden. Dabei ist a die horizontale Entfernung, b die vertikale Entfernung, und c die Gesamtentfernung.
a²+b² = c²
(0,32149)²+b² = c²

Die vertikale Entfernung b ist die Starthöhe minus die 2 Meter Höhe, die noch übrig sind. Die Starthöhe ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts. Durch Umwandlung der Funktion in Scheitelpunktform erhält man für die Starthöhe ca. 6,7888 m

(0,32149)²+(6,7888)² = c²

c = 6.7964 m

Wenn z. B. Atlantis zu Beginn eines Jahres die Bevölkerungszahl n hat, ist die Bevölkerung nach einem Jahr n' = n*(1+0,03) , weil die Zahl ja um 3 % wächst. Die Bevölkerung nach einem Jahr ist also (50 mio)*(1+0,03) , nach zwei Jahren ((50 mio)*(1+0,03))*(1+0,03) , und so weiter.

Allgemein ist also die Atlantis-Bevölkerung a nach n Jahren:
a(n) = (50 mio.)*(1,03)^n

Analog verhält es sich mit Utopia:
u(n) = (100 mio)*(1,01)^n

Die Bevölkerungszahl ist also gleich, wenn gilt:

(100 mio)*(1,01)^n = (50 mio)*(1,03)^n
2*1,01^n = 1,03^n
log_(1,03)(2*1,01^n) = n
log_(1,03)(2)+log_(1,03)(1,01^n) = n
log_(1,03)(2)+log_(1,03)(1,01)*n = n
ca. 23,45+n/3 = n
23,45 = 2/3 n
35,175 = n

Die Bevölkerung ist doppelt so groß, wenn gilt:

2*(100 mio)*(1,01)^n = (50 mio)*(1,03)^n
4*1,01^n = 1,03^n

log_(1,03)(4*1,01^n) = n

log_(1,03)(4)+log_(1,03)(1,01^n) = n

log_(1,03)(4)+log_(1,03)(1,01)*n = n

ca. 46,9+n/3 = n

46,9 = 2/3 n

70,3 = n

Wie gesagt sind das hier auch nur Näherungswerte, weil die angegebenen Logarithmen irrationale Zahlen sind. Solange es aber nur um ganze Jahre geht, kannst du aber auch einfach die nächsthöhere ganze Zahl verwenden.