Die momentane Änderungsrate wird durch die erste Ableitung f'(x) beschrieben. In diesem Fall suchst du nach dem Minimum dieser Funktion. Das Minimum einer Funktion findest du allgemein, indem du die Nullstellen der Ableitung suchst. In diesem Fall ist die Funktion, deren Minimum gesucht wird, bereits die Ableitung. Du musst also die Ableitung der Ableitung ermitteln (diese wird auch als zweite Ableitung bezeichnet und als f''(x) geschrieben).
Dann setzt du diese 2. Ableitung mit 0 gleich, um die Nullstellen zu erhalten.:
f''(x) = 0
Wenn du diese Gleichung auflöst, wirst du einen oder mehrere x-Werte erhalten. Dann setzt du einfach jeden dieser Werte f'(x), also in die erste Ableitung, ein. Der x-Wert, bei dem das Ergebnis am niedrigsten ist, ist die gesuchte Stelle.
In Anwendung auf die konkrete Aufgabe:
z(x) = 1,16x³ - 26,1x² + 148,3x
z'(x) = 3,48x² - 52,2x + 148,3
z''(x) = 6,96x - 52,2
Nullstelle von z''(x): 7,5
Da es nur eine Nullstelle gibt, müssen keine x-Werte verglichen werden.
Einsetzen in z(x)
z(7,5) = 133,5
Der gesuchte Punkt ist also P(7,5|133,5)
