Wie berechne ich die Höhe eines Satelliten?
Ich habe gegeben: m=500kg,der Satellit ist auf einer geostationären Umlaufbahn. Ich muss es mit der Gleichung r=G*m/v^2 errechnen,jedoch wenn ich v (v=s/t=2pi r/24h(wegen geostationären Umlaufbahn))berechnen will,brauche ich auch r.
1 Antwort
Um einen Satelliten mit der Masse Ms und der Winkelgeschwindigkeit Omega auf einer Kreisbahn um die Erde mit Radius r zu halten, ist die Zentripetalkraft
F1 = Ms * Omega^2 * r
nötig. Diese muss aufgrund der Anziehungskraft der Erde der Kraft F2 entsprechen.
F2 = G * Me * Ms / r^2 (G = Gravitationskonstante, Me = Masse der Erde).
Es muss also gelten
(1) F1 = F2
(1) Ms * Omega^2 * r = G * Me * Ms / r^2
(1) r = (G * Me / Omega^2)^(1/3)
Die Winkelgeschwindigkeit Omega des Satelliten ergibt sich aus dessen Umlaufdauer t
(2) Omega = 2 * pi / t
Eingesetzt in (1)
(1) r = (G * Me / (2 * pi / t)^2) ^ (1/3)
(1) r = [(G * Me * t^2) / (4 * pi^2 ) ] ^(1/3)
Die Gleichung (1) bestimmt den Radius der geostationären Umlaufbahn vom Mittelpunkt der Erde aus. Um die Entfernung der Bahn von der Oberfläche der Erde (Höhe) zu erhalten, zieht man den Radius der Erde Re von (1) ab.
(3) h = [(G * Me * t^2) / (4 * pi^2 ) ] ^(1/3) - Re
Die Masse des Satelliten ist also egal. Lediglich dessen Umlaufgeschwindigkeit beeinflusst die Höhe.
G (Gravitationskonstante) = 6,67428 · 10^-11 * m^3 * kg^-1 * s^-2
Me = 5,9736 * 10^24 kg
t = 86400 s (1 Tag)
Eingesetzt in die Formel (1) ergibt das r ~ 4224438 m ~ 42244 Km
Abzüglich Erdradius (3) h ~ 36000 Km.
Alles richtig ...
Die Gleichung habe ich schon einmal ausprobiert, die klappt aber nicht,es kommt ein Ergebnis welches nicht dem Richtigen entspricht.