Werden Primzahllücken immer größer?
Es wurde bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Müsste das nicht heißen, dass die Primzahllücken irgendwann nicht mehr größer werden können? Weil wenn die Lücke bis in das Unendliche größer werden kann, würde danach keine Primzahl mehr kommen können. Oder hab ich hier einen Fehlschluss gezogen?😅
5 Antworten
Ja, Fehlschluss! Bis heute wissen wir nicht, ob es nicht unendlich viele Primzahlzwillinge, also solche mit Abstand zwei, gibt. Und das heißt im Weiteren, dass die Abstände gerade nicht monoton größer werden, auch wenn es mit zunehmend höheren Zahlen naturgemäß immer weniger Primzahlen gibt.
Man kann beliebig große Zahlbereiche von hintereinander liegenden natürlichen Zahlen konstruieren, die keine Primzahlen enthalten, aber man kann andererseits bis jetzt weder beweisen noch ausschließen, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge (Primzahlen deren Differenz 2 ist) gibt.
Der einzige Primzahldrilling sind die Zahlen 3 ; 5 ; 7 .
Nachtrag: Der Beweis, dass es beliebig große (und damit unendlch viele) Primzahlen gibt, stammt von Euklid und ist mehr als 2000 Jahre alt. Diesen Beweis sollte eigentlich jeder Abiturient kennen.
Du schliesst falsch - die Behauptung ist aber trotzdem korrekt! Eine richtige Argumentation:
Sei p eine beliebige Primzahl. Dann liegt zwischen p! + 1 und p! + p + 1 eine Primzahl-Lücke der Länge p…
Da musst du gar nicht über die Primzahlen nachdenken, über deren Verhalten im Unendlichen man ja spekulieren könnte.
Nimm einfach die Quadratzahlen, also einen viel einfacheren Fall. Auch von denen gibt es natürlich unendlich viele. Und der Abstand zwischen zwei Quadratzahlen wird auch immer größer und konvergiert gegen unendlich: man kann für jede natürliche Zahl n eine Lücke zwischen zwei Quadratzahlen finden, die größer ist als n.
Also genau der Fall, nach dem du fragst: unendlich viele Zahlen und die Lücke wird immer, immer größer. Die Lücke muss also keine obere Schranke haben, damit unendlich viele Zahlen auf den Zahlenstrahl "passen", sie kann gerne unbegrenzt sein. Aus der bloßen Existenz unendlich vieler Primzahlen kannst du also gar nichts über den Abstand der Primzahlen schließen.
Naja, es gibt ja auch wieder unendlich viele Zahlen.
Der Abstand von z.B. 2er-Potenzen wird ja auch immer größer und im Limit unendlich groß, aber eben erst im Limit.