Welches zur y-Achse symmetrische Polynom 4. Grades geht durch den Punkt A (0/2) und hat in B (1/0) ein Minimum?
2 Antworten
Die Funktionsgleichung einer Polynomfunktion 4. Grades, deren Schaubild symmetrisch zur y-Achse ist lautet
f(x) = ax^4+bx²+c.
Die erste Ableitung dieser Funktion ist
f ' (x) = 4ax³+2bx.
Wegen f(0)=2 ist c=2.
Somit hat man f(x) = ax^4+bx²+2.
Weiter ist f(1)=0 und f ' (1)=0, also
0 = a + b + 2
0 = 4a + 2b ... Dann ist b = -2a, also
0 = a - 2a +2. Dann ist a = 2.
Folglich b = -4.
Die Funktionsgleichung ist also
f(x) = 2x^4 - 4x² + 2 =
2 (x^4-2x²+1) = 2 (x²-1)²
Symetrisch zur Y-Achse--> nur gerade Exponenten (zumindest bei einer echt-rationalen Funktion)
also kommt nur in Frage:
f(x)=ax^4+bx^2
f´(x)=4ax^3+ 2bx
jetzt einfach deine 2 Bedingungen für f und f´einsetzen und nach a und b auflösen
Da war ich ja nah dran mit meiner Vermutung f(x)=ax^4+bx^2+e
Vielen Dank! Hast mir sehr geholfen!
Das Minimum ist doch der Tiefpunkt, oder? Und dafür muss ich die erste Ableitungen null setzen und das in die zweite Anleitung einsetzten.
Stimmt klingt logisch. Wenn ich die Bedingung A (0/2) kommt ja aber überall null raus, oder hab ich da was falsch gemacht? Dann hätte ich durch die zweite Bedingungen nur eine Gleichung "0=4a+2b". Ich blicke irgendwie nicht ganz durch.. :(
bei f(x) kommt hinten noch ein "+c" ran... du hast dann aber 3 Bedingungen, weil dein Minimum ja auch noch ein Punkt in f(x) ist.... also 3 Gleichungen und 3 Unbekannte