Welcher Körper rollt schneller eine schiefe Ebene hinunter: Eine massiver oder ein hohler Zylinder?
7 Antworten
Wäre die Ebene mit Schmierseife ideal rutschig gemacht, würde jeder Körper gleichschnell rutschen: Die beschleunigende Kraft ist (sinus alpha) * m * g, diese hat ausschließlich die Aufgabe, die Masse m zu beschleunigen, und da F = m * a ergibt das eine Beschleunigung von (sinus alpha) * g.
Die Masse erhöht gleichermaßen die beschleunigende Hangabtriebs-Kraft wie die Trägheit.
Bei einem rollenden Körper ist die beschleunigende Kraft immer noch die gleiche, aber diese teilt sich jetzt auf in einen Teil, der den Schwerpunkt des Körpers - gegen dessen Trägheit - beschleunigt, und einen Teil, der den Körper - gegen dessen Trägheitsmoment - in Rotation versetzt.
Wie genau die Kräfte sich aufteilen, ergibt sich daraus, dass die Rotation über den Umfang an die Bewegung des Schwerpunktes gebunden ist: Bei einer Umdrehung des Zylinders bewegt sich der Schwerpunkt um einen Umfang hangabwärts.
Worin unterscheiden sich jetzt Hohl- und Vollzylinder? Der ideal dünne Hohlzylinder hat das Trägheitsmoment m * r^2, der Vollzylinder nur das halbe, 0,5 * m * r^2
Beim Hohlzylinder muss also ein größerer Anteil der Hangabtriebskraft in die Rotation fließen, bleibt nur ein kleinerer Anteil für die lineare Beschleunigung. Demzufolge wird der Hohlzylinder langsamer rollen.
Die Beschleunigung ist unabhängig von der Masse - mehr Masse gibt gleichermassen mehr Hangabtriebskraft, mehr Trägheit und mehr Trägheitsmoment.
Ergänzung: Beide Körper bzw. deren Schwerpunkte vollführen eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus. Beim Hohlzylinder ist die Beschleunigung kleiner als beim Vollzylinder.
Ich gehe mal davon aus, dass der Hohlzylinder dadurch entstehen soll, dass aus dem Vollzylinder in der Mitte was rausgeschnitten wird, dass also die Außenradien gleich sind (man könnte die Aufgabe nämlich auch anders verstehen).
r = innerer Radius, R = äußerer Radius
Die Energiebetrachtung liefert
Ekin + Erot = Epot
=> 1/2 * m * v² + 1/2 * J * ω² = m * g * h
=> v² + J/m * ω² = 2 * g * h
=> v² + J/m * v²/R^2 = 2 * g * h
v² * (1 + J/(R² * m)) = 2 * g * h
=> v² = 2 * g * h / (1 + J/(R² * m))
Nun ist das Trägheitsmoment des ausgebohrten Zylinder J = 1/2 * m * (r² + R²)
=> v² = 2 * g * h / (1 + 1/2 * (1+(r/R)²))
Man siehst, dass die Geschwindigkeit umso größer wird, je kleiner r ist, im Extremfall also r = 0, also bei einem Vollzylinder.
Du hast recht, es kommt nur auf das Verhältnis r/R an. Das kommt davon, wenn man zuerst was hinschreibt und dann rechnet :-)
> man könnte die Aufgabe nämlich auch anders verstehen
was aber nichts am Ergebnis ändert. Sowohl für den Vollzylinder mit r=0 als auch für den idealen Hohlzylinder mit r=R ist die Geschwindigkeit unabhängig von R
Ohne tiefere Sachkenntnis, und rein nach Gefühl, würde ich sagen: Der massive Zylinder beginnt langsamer, zu rollen (da träge), nimmt dann aber an Geschwindigkeit zu aufgrund seines Gewichts und der relativen Anziehungskraft g.
Der hohle Zylinder wird eher durch Schrägen beeinflusst und fängt sofort an, zu rollen und bekommt weniger Widerstand.
Ist der Untergrund eben bzw. glatt oder rauh? Gibt es eine temporale Komponente? Auf welcher Zeitlinie wird die Geschwindigkeit gemessen?
Und wie viel Grad die Schräge hat, ist auch nicht angegeben? Das ist aber ziemlich tricky..
Also bei einer leichten Schräge von 10-20° ist der hohle Zylinder eindeutig schneller, denke ich, da die Erdanziehungskraft g die Trägheit des massiven Zylinders zu sehr in seiner Beschleunigung beschränkt.
Ist die Schräge jedoch steil genug, wirkt die Erdanziehungskraft umso mehr, und der massive Körper kann sein Gewicht eher nutzen, um zu beschleunigen.
Innerhalb eines Diagrammes könnte man nach Zeitachse verdeutlichen, wie unterschiedlich sich beide Körper bewegen und wie sich die beiden Linien dann (vermutlich) kreuzen (d.h. der massive Körper überholt den hohlen), wenn die Schräge im Mittelmaß von 25-35 Grad liegt.
Beim Abrollvorgang der Zylinder auf der geneigten Ebene wird die potentielle Energie in kinetische Energie und Rotationsenergie umgewandelt (Reibung vernachlässigt). Aufgrund der unterschiedlichen Massenverteilung bezogen auf die Rotationsachse besitzt der Vollzylinder ein kleineres Massenträgheitsmoment als der Hohlzylinder. Daher ist das Verhältnis von kinetischer Energie und Rotationsenergie beim Vollzylinder größer. Das bedeutet, dass er im Vergleich zum Hohlzylinder zur gleichen Zeit eine größere Geschwindigkeit erreicht. Der Vollzylinder beschleunigt hangabwärts also schneller.
LG
Der Massive, weil das Verhältnis zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit günstiger ist. Beim hohlen Zylinder ist die Masse außen, daher muss für eine gegebene Rotationsgeschwindigkeit mehr Drehimpuls aufgebaut werden. Also rollt dieser langsamer.
Sehe ich auch so, allerdings müssten beide Zylinder gleiche Masse haben, was bedeutet, dass der hohle aus einem dichteren Material ist.
nein, gibts nicht. So wie es da steht ist es die ganze Aufgabe, danke.