Lagrange, Zwangsbedingungen?
Hallo,
ich habe zwei Fragen zu Zwangsbedingungen im Lagrangeformalismus zu spezifischen Aufgaben:
1.) In der ersten Aufgabe rollt ein Zylinder mit Schlupf eine schiefe Ebene mit konstantem Winkel Alpha zur x-Aches hinunter. Man sollte die Zwangsbedingungen bestimmen. Ich habe dann gesagt:
Damit bleibt 1 Freiheitsgrad. Das gilt aber anscheinend nur für einen Zylinder, der ohne Schlupf die Ebene hinunterrollt und ich verstehe nicht warum?
2.) In der zweiten Aufgabe wird ein Draht, der einen konstanten Winkel Alpha zur x-Achse einhält in x-Richtung beschleunigt. Auf dem Draht gleitet eine Perle. Der Draht steht nicht senkrecht und man betrachtet die x-y-Ebene.
Meine Zwangsbedingungen waren:
Es bleiben also 2 Freiheitsgrade übrig. In der Lösung war aber nur die Transformationsgleichung angegeben:
Kann mir jemand sagen, ob meine Zwangsbedingungen richtig sind und wie man dann auf die Transformationslgleichung kommt?
Danke im Voraus!
PS: b = Beschleunigung
1 Antwort
Zu Aufgabe 1: Wofür sollen denn die Koordinaten x, y und z stehen? Wahrscheinlich für die Koordinaten des Schwerpunkts, aber selbst wenn der Schwerpunkt eindeutig festgelegt ist, kann der Zylinder sich noch um seine Achse drehen. Der Drehwinkel ist also eine vierte Koordinate, die du einführen solltest. Wenn der Zylinder mit Schlupf rollt, dann gibt es für diese Koordinate keine Zwangsbedingungen, sodass du mit deinen beiden Zwangsbedingungen für die Schwerpunktskoordinaten auf insgesamt zwei Freiheitsgrade kommst.
Also wenn sich der Drehwinkel ändert, dann rollt der Zylinder ja ein Stück und damit ändert sich auch x und y Koordinate.
Dann gäbe es also eine Zwangsbedingung, die die Schwerpunktskoordinaten mit dem Drehwinkel in Verbindung setzt. So ist es allerdings nur, wenn der Zylinder ohne Schlupf rollt. Mit Schlupf gibt es diese Zwangsbedingung nicht.
Übrigens sieht das System zwar für jeden Drehwinkel gleich aus, aber die Ableitung des Drehwinkels, also die Winkelgeschwindigkeit, beeinflusst zum Beispiel die kinetische Energie (genauer gesagt den Rotationsteil) des Systems.
Okay, den ersten Teil verstehe ich jetzt,danke!
Das mit der Ableitung des Winkels leuchtet mir ein (also ich verstehe, dass das die kinetische Energie des Systems beeinflusst), aber ich verstehe nicht ganz, wieso ich das in den Zwangsbedingungen berücksichtigen muss. Ganz allgemein bestimmte ich hier ja holonome Zwangsbedingungen. Diese haben die Form f_i(q_1,...,q_{3N},t)=0, hängen also nur von den Koordinaten und nicht von den Geschwindigkeiten, was ja z.B. die Winkelgeschwindigkeit wäre, ab. Also warum muss ich das dann berücksichtigen?
Ja genau, x,y und z sind die Schwerpunktskoordinaten. Also wenn ich das richtig verstehe, dann stimmen meine Zwangsbedingungen, aber ich muss noch den Drehwinkel als weitere Koordinate einführen. So komme ich dann auf 2 Freiheitsgrade. Aber warum braucht es überhaupt den Drehwinkel? Ein Zylinder ist doch rotationssymmetrisch um die betrachtete Achse und seine Position ist doch durch x und y eindeutig bestimmt? Also wenn sich der Drehwinkel ändert, dann rollt der Zylinder ja ein Stück und damit ändert sich auch x und y Koordinate. Da stehe ich gerade auf dem Schlauch... Und was genau hat das mit dem Schlupf zu tun?
LG