Welchen Flächeninhalt hat ein Kreis auf einer Kugeloberfläche?

Ich ste­he auf einer Ku­gel mit Ra­di­us R und zie­he um mich her­um einen Kreis mit Ra­di­us r (da­bei ist r ent­lang der ge­krümm­ten Kugel­ober­fläche ge­mes­sen und muß daher klei­ner als Rπ sein). Wie be­rech­ne ich den Flä­chen­inhalt?

Answer 1

[mihisu]

Bevor ich da irgendwelche Rechnungen aufschreibe, die nicht zur von dir gedachten Situation passen... Schau mal, ob du das so gemeint hast...

[Bild 1]

Ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstanden habe, und du das mit dem Radius r so gemeint hast. Dieser soll so wie in meiner Zeichnung entsprechend gekrümmt gemessen sein, oder?

Und mit dem gesuchten Flächeninhalt ist dann der Flächeninhalt des blau markierten Teils der Kugelfläche gemeint?

Oder ist damit der Flächeninhalt der grün markierte Kreisfläche wie im folgenden Bild 2 gemeint?

[Bild 2]

====== Ergänzung ======

[Bild 3]

Den orange-farbenen Winkel in Bild 3 (den ich nun ξ nenne) erhält man, indem man die Bogenlänge r durch den Kugelradius R teilt. [So erhält man den entsprechenden Winkel im Bogenmaß.]

$\xi=\frac{r}{R}$

Den Flächeninhalt A der in Bild 1 blau-markierte Fläche kann man nun mittels Integralrechnung mit Kugelkoordinaten folgendermaßen berechnen...

$A=\int\limits_{\theta=0}^{\theta=\xi}\int\limits_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}R^2\cdot \sin\left(\theta\right)\,\text{d}\varphi \,\text{d}\theta$

$A=R^2\cdot \int\limits_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\,\text{d}\varphi \cdot \int\limits_{\theta=0}^{\theta=\xi}\sin\left(\theta\right)\,\text{d}\theta$

$A=R^2\cdot 2\pi\cdot \int\limits_{\theta=0}^{\theta=\xi}\sin\left(\theta\right)\,\text{d}\theta$

$A=R^2\cdot 2\pi\cdot \left[-\cos\left(\theta\right)\right]_{\theta=0}^{\theta=\xi}$

$A=R^2\cdot 2\pi\cdot \left(-\cos\left(\xi\right)-\left(-\cos\left(0\right)\right)\right)$

$A=R^2\cdot 2\pi\cdot \left(-\cos\left(\xi\right)-\left(-1\right)\right)$

$A=R^2\cdot 2\pi\cdot \left(-\cos\left(\xi\right)+1\right)$

$A=R^2\cdot 2\pi\cdot \left(1-\cos\left(\xi\right)\right)$

$A=R^2\cdot 2\pi\cdot \left(1-\cos\left(\frac{r}{R}\right)\right)$

Für den von dir konkret im Kommentar genannten Beispielfall... Mit einem mittleren Erdradius R = 6371 km und Bogenlänge r = 10000 km erhält man...

$A=\left(6371\,\text{km}\right)^2\cdot 2\pi\cdot \left(1-\underbrace{\cos\overbrace{\left(\frac{10000\,\text{km}}{6371\,\text{km}}\right)}^{\approx 1\text{,}5696123}}_{\approx 0\text{,}0011840208}\right)\approx 254\,730\,273\,\text{km}^2$

Comments

[indiachinacook]

Ersteres, also: Wieviel Fläche der Erdoberfläche ist maximal 10000 km von mir entfernt.

[mihisu]

@indiachinacook

Ich habe mal einen möglichen Rechenweg am Ende meiner Antwort ergänzt.

Bei einer entsprechenden Bogenlänge von r = 10000 km (gemessen entlang der Kugeloberfläche) als maximale Entfernung, erhält man einen entsprechenden Flächeninhalt von etwa 301963 km².

Dieses Ergebnis beim konkreten Beispiel entspricht übrigens in etwa die Hälfte der gesamten Kugeloberfläche der Erde. [Denn die Einheit Meter wurde ursprünglich so definiert, dass die Entfernung vom Nordpol zum Äquator (gemessen entlang der Erdoberfläche) 10000 km betragen sollte.] In meiner Rechnung ist dann auch der cos(r/R)-Wert dementsprechend annähernd gleich 0.

[ralphdieter]

@mihisu

etwa die Hälfte der gesamten Kugeloberfläche

Die Hälfte von 510 Mio. km² sind etwa 255 Mio. km², und das bekomme ich mit deiner Formel auch heraus. Ist dein Taschenrechner auf Grad statt Bogenmaß eingestellt?

[mihisu]

@ralphdieter

Da hast du natürlich recht. Anscheinend habe ich mich da irgendwo bei Eingabe in meinen Rechner vertippt. Ich kann nicht mehr nachvollziehen, wie ich da vorher auf 301963,46 km² gekommen bin. (Das war auch kein Fehler mit falscher Taschenrechner-Einstellung beim Winkelmaß.) Wenn ich das nochmal richtig in meinen Rechner eingebe, erhalte ich etwa 254730273 km² für den Flächeninhalt. [Ich habe das Rechenergebnis in meiner Antwort nun entsprechend korrigiert.]

[mihisu]

@mihisu

OK, ich habe den Fehler gefunden. Ich habe in meinen Rechner anscheinend zuvor versehentlich

6371^2 * 2 * PI * cos(10000/6371)

statt

6371^2 * 2 * PI * (1 - cos(10000/6371))

eingegeben.

[indiachinacook]

Danke, das ist wirklich die perfekte Antwort.