Welchen Flächeninhalt hat ein Kreis auf einer Kugeloberfläche?
Ich stehe auf einer Kugel mit Radius R und ziehe um mich herum einen Kreis mit Radius r (dabei ist r entlang der gekrümmten Kugeloberfläche gemessen und muß daher kleiner als Rπ sein). Wie berechne ich den Flächeninhalt?
1 Antwort
Bevor ich da irgendwelche Rechnungen aufschreibe, die nicht zur von dir gedachten Situation passen... Schau mal, ob du das so gemeint hast...
[Bild 1]
Ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstanden habe, und du das mit dem Radius r so gemeint hast. Dieser soll so wie in meiner Zeichnung entsprechend gekrümmt gemessen sein, oder?
Und mit dem gesuchten Flächeninhalt ist dann der Flächeninhalt des blau markierten Teils der Kugelfläche gemeint?
Oder ist damit der Flächeninhalt der grün markierte Kreisfläche wie im folgenden Bild 2 gemeint?
[Bild 2]
====== Ergänzung ======
[Bild 3]
Den orange-farbenen Winkel in Bild 3 (den ich nun ξ nenne) erhält man, indem man die Bogenlänge r durch den Kugelradius R teilt. [So erhält man den entsprechenden Winkel im Bogenmaß.]
Den Flächeninhalt A der in Bild 1 blau-markierte Fläche kann man nun mittels Integralrechnung mit Kugelkoordinaten folgendermaßen berechnen...
Für den von dir konkret im Kommentar genannten Beispielfall... Mit einem mittleren Erdradius R = 6371 km und Bogenlänge r = 10000 km erhält man...
Ich habe mal einen möglichen Rechenweg am Ende meiner Antwort ergänzt.
Bei einer entsprechenden Bogenlänge von r = 10000 km (gemessen entlang der Kugeloberfläche) als maximale Entfernung, erhält man einen entsprechenden Flächeninhalt von etwa 301963 km².
Dieses Ergebnis beim konkreten Beispiel entspricht übrigens in etwa die Hälfte der gesamten Kugeloberfläche der Erde. [Denn die Einheit Meter wurde ursprünglich so definiert, dass die Entfernung vom Nordpol zum Äquator (gemessen entlang der Erdoberfläche) 10000 km betragen sollte.] In meiner Rechnung ist dann auch der cos(r/R)-Wert dementsprechend annähernd gleich 0.
etwa die Hälfte der gesamten Kugeloberfläche
Die Hälfte von 510 Mio. km² sind etwa 255 Mio. km², und das bekomme ich mit deiner Formel auch heraus. Ist dein Taschenrechner auf Grad statt Bogenmaß eingestellt?
Da hast du natürlich recht. Anscheinend habe ich mich da irgendwo bei Eingabe in meinen Rechner vertippt. Ich kann nicht mehr nachvollziehen, wie ich da vorher auf 301963,46 km² gekommen bin. (Das war auch kein Fehler mit falscher Taschenrechner-Einstellung beim Winkelmaß.) Wenn ich das nochmal richtig in meinen Rechner eingebe, erhalte ich etwa 254730273 km² für den Flächeninhalt. [Ich habe das Rechenergebnis in meiner Antwort nun entsprechend korrigiert.]
Ersteres, also: Wieviel Fläche der Erdoberfläche ist maximal 10000 km von mir entfernt.