Welche Wahrscheinlichkeit würdet ihr verwendet?
Die Einhaltung der Vignettenpflicht für PKWs auf Autobahnen wird zum Teil durch Vignettenkontrollen mittels Kamera überwacht. Angenommen an einem Tag werden insgesamt 6400 Fahrzeuge kontrolliert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Zahl der registrierten Vignetten-Sünder an diesem Tag (a) weniger als 100, (b) zwischen 100 und 200 bzw. (c) mehr als 200 Fahrzeuge betragen, wenn man aus Erfahrung weiß, dass etwa 3% der Fahrzeuge ohne gültige Vignette unterwegs sind?
2 Antworten
Nach der Rechnung ja zwischen 100 und 200... 6400 x 0,03 = 192.
Ähm keine Ahnung, was das ist, die Schule ist bei mir schon etwas länger her und Mathe habe ich weitestgehend verdrängt, aber wenn man meint, dass 3% aller PKW ohne gültuge Vignette unterwegs sind, dann ist das eben so anzuwenden.
Deine Antwort hat mit der Frage herzlich wenig zu tun.
Gefragt sind hier 3 Wahrscheinlichkeiten. Diese müssen mit der etsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilung ermittelt werden.
Wieviel 3% von 6400 sind, ist hier nicht gefragt!
Hallo,
die Binomialverteilung ist hier recht unpraktisch, weil Du dann Binomialkoeffizienten wie 6400 über 100 (und das auch noch aufsummiert) berechnen mußt.
Da streikt jeder Taschenrechner.
Wenn Du ein Programm für die kumulierte Binomialverteilung nimmst, funktioniert es (weiß der Teufel, wie der das macht).
Ich würde hier allerdings die Normalverteilung nehmen.
Es ist einfach, Erwartungswert (192) und Standardabweichung (Wurzel (192*0,97)=13,65 zu berechnen.
Damit hat sich nämlich die erste Wahrscheinlichkeit schon ohne nachzurechnen erledigt, nämlich daß nur bis zu 99 Fahrzeuge erwischt werden.
192-99=93. Das sind fast 7 Standardabweichungen unter dem Erwartungswert; da liegt die Wahrscheinlichkeit praktisch bei Null.
Von 192 bis 200,5 sind es 8,5/13,65=0,623 Standardabweichungen über dem Erwartungswert. Wundere Dich nicht über die 200,5 anstelle von 200. Wenn Du eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung annäherst, mußt Du die entsprechenden Grenzen um jeweils 0,5 erweitern, damit sich die stetige Normalverteilungskurve besser an den diskreten treppenförmigen Graphen der Binomialverteilung anpaßt. Du kannst hier einfach den Wert aus der Tabelle für die kumulierte Standardnormalverteilung nehmen, da es praktisch keinen Unterschied macht, ob Du von 100 oder von 0 an zählst. Du findest da den Wert 0,733, also eine Wahrscheinlichkeit von 73,3 % dafür, daß zwischen 100 und 200 Fahrzeugen ohne Vignette erwischt werden.
Über 200 ist dann die Gegenwahrscheinlichkeit, also 100 %-73,3 %=26,7 %.
Die genauere Binomialverteilung liefert für die Wahrscheinlichkeit für 100 bis 200 Fahrzeuge 73,56 %. Dieser Unterschied rechtfertigt den größeren Rechenaufwand nicht. Wenn Du einen Rechner hast, der ein Programm für beide Verteilungen besitzt, kannst Du natürlich die Binomialverteilung wählen. Für Dich ist der Arbeitsaufwand in beiden Fällen fast gleich und die Binomialverteilung liefert den genaueren Wert.
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen, vielen dank für die ausführliche Antwort. Hat mir sehr geholfen.
Also ich habe λ=n*p=192 auch gerechnet. Mir würde interessieren, ob man die Aufgabe mit einer Poisson oder Normalverteilung lösen kann?!