Welche Antwort ist richtig und warum (Mathe)?

Hab eine alte Matheklausur von mir gefunden und bin auf diese Aufgabe gestoßen. Hatte damals keine Antwort finden können und geraten - versteh sie immer noch nicht. Welche Antwort ist hier richtig? Bzw. gibt es überhaupt eine? Eine Erklärung wäre auch sehr hilfreich

Answer 1

[mihisu]

Die Funktionen sind alle an der Stelle x = 1 differenzierbar. Wenn die Funktion an der Stelle x = 1 eine Extremstelle hat, muss notwendigerweise f′(1) = 0 sein. [Wenn außerdem f′′(1) ≠ 0 ist, ist die Bedingung auch hinreichend.]

Aber bevor wir damit anfangen, könnte man gleich erkennen...

• Bei f(x) = e^x und f(x) = ln(x) und f(x) = √(x) solltest du die Funktion gut genug kennen, um direkt zu erkennen, dass diese streng monoton steigend sind, also keine Extremstelle im Inneren des Definitionsbereichs haben.
• Auch f(x) = sin(x) solltest du so gut kennen, dass die Extremstellen bei den ungeraden Vielfachen von π/2 liegen, keine bei x = 1.

Dementsprechend brauchst du eigentlich nur f(x) = 1/x + x genauer zu überprüfen.

$f(x)=\frac{1}{x}+x$

$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+1$

$f''(x)=\frac{2}{x^3}$

$f'(1)=-\frac{1}{1^2}+1=-1+1=0$

$f''(1)=\frac{2}{1^3}=2\ne 0$

Da also f′(1) = 0 und f′′(1) ≠ 0 ist, hat f(x) = 1/x + x eine Extremstelle bei x = 1.

Answer 2

[MaxSymbol]

Hallo,

1. Ableitung von 1/x+x ist -1/x^2+1. Setze 1 ein. Ergibt 0.

Gruß