Weiß jemand die Lösung?

Hallo,

ich kapiere die untere Aufgabe nicht bzw. fehlt mir da leider der Ansatz. Könnte jemand vielleicht helfen.

Answer 1

[evtldocha]

Voraussetzung für die Lösung ist die Kenntnis der Formel für die Berechnung eines Rotationsvolumens bei der Rotation des Graphen einer Funktion f(x) um die x-Achse:

$V=\pi\cdot\int_{_a}^{^b}\left(f\left(x\right)\right)^2dx$ Mehr dazu z.B. hier: https://studyflix.de/mathematik/rotationskoerper-1879

Skizze für m=2

Die blaue Fläche soll um die x-Achse rotieren und ergibt dabei ein Volumen. Dieses Volumen hängt von der Steigung der Geraden ab.

Schnittpunkt der beiden Graphen: $x^2-mx=0\ \Leftrightarrow x\cdot\left(x-m\right)=0\ \Leftrightarrow x_1=0\ \vee\ x_2=m$

Das Volumen ist dann:

$V\left(m\right)=\pi\cdot\left(\int_{_0}^{^m}\left(mx\right)^2dx\ -\int_{_0}^{^m}\left(x^2\right)^2dx\right)\ =$ $\pi\cdot\left(\left[\frac{1}{3}m^2x^3\right]_{_0}^{^m}-\left[\frac{1}{5}x^5\right]_{_0}^{^m}\right)=\pi\left(\frac{1}{3}m^5-\frac{1}{5}m^5\right)=\frac{\left(5-3\right)}{15}\pi m^5=\frac{2}{15}\pi m^5$