Was sind irrationale Zahlen und welche Zahlen gehören dazu?
Wir schreiben bald einen Mathetest und ich habe mir alle Zahlentypen aufgeschrieben, nur die irrationalen Zahlen nicht.
Ich weiß, die Frage gibt es schon mal, aber die Antworten waren nicht sehr hilfreich und deswegen hoffe ich hier auf bessere Antworten. Wäre nett, wenn mir das einer erklären kann.
Danke schon mal ;)
8 Antworten
Hallo,
irrationale Zahlen sind alle die Zahlen auf der Zahlengeraden, die sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen, die also eine unendliche Zahl von Nachkommastellen haben, ohne irgendwann periodisch zu werden. Die angesprochene Wurzel aus 2, auch aus 3 oder 5 oder 99 ist so ein Beispiel, aber auch die Kreiszahl Pi, die Eulersche Zahl e, viele Naturkonstanten usw. Die Zahlen, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen - dazu gehören auch Zahlen wie 1, 2 oder 3, denn sie lassen sich als 1/1, 2/1 oder 3/1 darstellen, werden die rationalen (zu Deutsch: mit dem Verstand zu erfassende Zahlen oder Zahlen, die berechnet werden können) Zahlen genannt, die anderen die irrationalen. Rationale und irrationale Zahlen zusammen ergeben die Zahlenmenge ℝ, die Menge der reellen Zahlen, die die komplette Zahlengerade lückenlos ausfüllt.
Herzliche Grüße,
Willy
Oh gott das kenn ich nur zu gut die rationalen und irrationalen zahlen. Die versteh ich auch nicht aber ich geh immer auf you tube und gib das da ein wenn ich es nicht versteh und da wird das vol gut erklärt wie mab es rechnet und die ganzen regeln.
Rationale Zahlen kann man als Bruch darstellen, irrationale Zahlen nicht. Zieht man zum Beispiel die Wurzel aus der Zahl 2, erhält man etwa die Zahl 1,4142. Diese Zahl ist jedoch ungenau, denn es folgen bei der Wurzel aus 2 unendlich viele Stellen nach dem Komma. Dies gilt auch für die Kreiszahl π ( gesprochen: pi ), bei der in der Schule meist der Wert 3,14 als Näherung verwendet wird. In der Praxis bricht man also nach einer bestimmten Stelle nach dem Komma ab und erhält somit eine endliche Dezimalzahl ( Kommazahl ).
Laut https://www.gutefrage.net/frage/was-ist-eine-irrationale-zahl- =
Du erinnerst dich vielleicht an den Aufbau der Zahlsysteme? Zuerst hat man nur die natürlichen Zahlen |N... 1, 2, 3, 4... usw. Damit kann man wunderbar addieren und multiplizieren. Will man aber subtrahieren, kann es sein, dass man keine natürliche Zahl findet, die eine Aufgabe löst: 5-7 ist da nicht lösbar. Also hat man die ganzen Zahlen |Z genommen, da hatte man den -2 als Lösung. Dann wollte man dividieren: aber 2/3 lässt sich auch in den ganzen Zahlen nicht lösen. Daher hat man die rationalen Zahlen |Q dazu genommen, die Bruchzahlen also. Nun musste man leider feststellen, dass man auch in dieser Menge bei manchen Berechnungen keine Lösungen findet... man kann zwar wunderbar z. B. 2² = 4 berechnen, für die Umkehrfunktion Wurzel ziehen aber gibt es aber nicht immer eine Lösung, die sich als Bruch darstellen lässt, z. B. Wurzel aus 2 - und noch eine Menge weiterer Funktionen, deren Ergebnisse sich in |Q nicht berechnen ließen. Dann hat man |Q wieder erweitert, so dass man jetzt keine Lücken mehr auf dem Zahlenstrahl hatte - das war dann |R, die Menge der reellen Zahlen. Die Zahlen aus |R / |Q, also Zahlen, die zwar auf dem Zahlenstrahl liegen (pi liegt irgendwo zwischen 3 und 4), sich aber nicht als Bruch darstellen lassen, heißen die irrationalen Zahlen. Das Interessante ist, dass die meisten Zahlen auf dem Zahlenstrahl irrational sind. Man bekommt in der Schule immer den Eindruck, als ob es nur so ein paar irrationale Zahlen gäbe - es ist genau andersherum: es gibt "ein paar" Brüche, aber sehr viel mehr irrationale Zahlen. Übrigens ist der "Ärger" mit der Erweiterung auf |R noch nicht zu Ende: Wurzel aus -1 lässt sich dort auch wieder nicht darstellen, wenn man das wiederum will, muss man die imaginären Zahlen hinzunehmen.
Irrationale Zahlen sind Zahlen, die Du nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen kannst. Sie gehören zu den reellen Zahlen.
Die bekanntesten sind wohl Wurzel(2) [=1,414...], PI [=3,14....] und die eulersche Zahl e [=2,718...]
Irrationale Zahlen sind Zahlen, die unendliche viele Nachkommastellen aufweisen und nicht periodisch sind, sie können also nicht als Bruch dargestellt werden (das ist der Unterschied zu den rationalen Zahlen).
z.B. also Wurzel 2 oder Pi