Was passiert bei eingereichter Berufung ans Amtsgericht am letzten Tag der Berufungsfrist?

Das selbe, wie bei der Einreichung am vorletzten Tag.

Die Einlegung der Berufung am letzten Tag der Frist setzt die selben Abläufe in Gang.

Bei der Gelegenheit:
§ 519 ZPO

Die Berufung wird durch Einreichung der Berufungsschrift bei dem Berufungsgericht eingelegt.

sie wird normal bearbeitet. Nur noch einen Tag später wäre es zu spät gewesen.