Was muss in eine MATHE GFS über Vektoren in der Physik?
Ich muss bald eine Mathe GFS über Vektoren in der Physik halten (Kl. 10 Gymnasium) und verzweifle aber an den Aufgaben, weil die irgendwie komplett unterschiedlich (schwierig) sind. Ich weiss nicht was angemessen für 10. Klasse ist und was nicht, kann mir da jemand helfen? http://www.harfesoft.de/aixphysik/uebungen/WS9900/rechen01/index.html die aufgaben unter diesem Link verstehe ich aufgrund der Lösungswege mit den Winkeln nicht, ich verzweifle daran. :-( Hat jemand vielleicht eine GFS über dieses Thema mal gehalten und kann mir weiterhelfen?
1 Antwort
Hattet Ihr denn keine Winkel und Trigonometrie, respektive Vektorrechnung? Nun gut, letzteres haben wir in Mathematik erst in der Oberstufe kennengelernt, in Physik freilich eher. Schließlich kommen in der Physik am laufenden Band gerichtete Größen vor, etwa im berühmten Parallelogramm der Kräfte.
Vektoren lassen sich einerseits anschaulich durch (verschiebbare) Pfeile darstellen, die man addiert, indem man den Anfang des 2. an die Spitze des 1. verschiebt und vom Anfang des 1. an die Spitze des 2. einen dritten Pfeil zeichnet. Ein Vektor ist nicht mit dem einzelnen Pfeil, sondern mit einer ganzen Klasse von Pfeilen gleicher Richtung und gleicher Länge zu identifizieren.
Vektoren lassen sich aber auch als sog. Tupel darstellen, etwa ist (1; 0) (oft auch vertikal dargestellt) ein Vektor in der Ebene, der in +x-Richtung (in üblichen Darstellungen also nach rechts) zeigt. Sie lassen sich komponentenweise addieren: (a; b)+(c; d)=(a+c; b+d). Sie lassen sich auch mit Zahlen multiplizieren, dabei muss jede Komponente mit derselben Zahl multipliziert werden.
Wenn man zwei oder mehrere Vektoren mit je einer Zahl multipliziert (kann die gleiche sein, muss aber nicht) und die Ergebnisse addiert, heißt das eine Linearkombination und ist wieder ein Vektor.
Die Länge eines Vektors in 2D lässt sich nach dem Satz des Pytagoras addieren, denn die Projetion auf die x-Achse, die auf die y-Achse sowie der Vektor selbst bilden ein rechtwinkliges Dreieck. In nD, n>2 ist eine verallgemeinerte Form dieses Satzes anzuwenden (|(a; b; c)|=a²+b²+c²).
In Aufgabe 1 muss die Schwimmgeschwindigkeit eine Komponente gegen den Strom haben, die genauso groß ist wie die Geschwindigkeit der Strömung (schon das ist übrigens schwierig, ich würde es nicht schaffen), die andere Komponente ergibt sich aus der Zeit, in der man die Strecke schaffen will. Wie schnell man insgesamt schwimmen muss, s. voriger Abschnitt.
Also kann ich den Betrag des Vektors mit dem Satz des Pythagoras oder dem Kräfteparallelogramm berechnen, oder?
Präzise formuliert kannst Du den Betrag eines einzelnen Vektors x
(Vektoren werden gern mal fettgedruckt dargestellt; andere Möglichkeiten sind - in der Physik - x⃗ oder 𝔵, während Mathematiker Vektoren normalerweise keine besondere Darstellung verwenden)
mit der euklidischen Norm "||...||₂=|...|"
|x| = |(x₁; x₂; ...; xₙ)| ≔ ∑_₍ₖ₌₁,...,ₙ₎{xₖ²} (in der Physik meist n=3, in ebenen Problemen auch n=2),
einer Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras, berechnen, denn die Komponenten xₖ stehen senkrecht aufeinander, wenn der Vektor in einem sog. kartesischen Koordinatensystem (Achsen rechtwinklig, Einheiten gleich) dargestellt ist.
Kann es auch vorkommen, dass das Kräftedreieck, das ich aus den Vektoren zeichne, nicht rechtwinklig ist? Wenn ja, was mache ich dann?
Das braucht nicht rechtwinklig zu sein. Das Parallelogramm der Kräfte dient dazu, die Addition zweier Kraftvektoren zu veranschaulichen, und zwar gern auf bei de mögliche Arten, also
F₁+F₂ und F₂+F₁,
wodurch das (nicht notwendigerweise rechtwinklige) Dreieck zum Parallelogramm ergänzt wird. Falls die Kräfte ein rechtwinkliges Dreieck bilden, wird das Parallelogramm zum Rechteck.
Vom Resultat, der Vektorsumme, kann man dann dann vermittels der o.g. euklidischen Norm berechnen. Dass dies maximal so groß sein kann wie die Summe der Beträge der einzelnen Vektoren, kommt durch die Dreiecksungleichung
|F₁+F₂| ≤ |F₁|+|F₂|
zum Ausdruck.
Vielen Dank!! :-)
Ja wir haben Vektoren in Mathe schon durchgenommen, aber ich soll es jetzt vertiefen mit der GFS. Also kann ich den Betrag des Vektors mit dem Satz des Pythagoras oder dem Kräfteparallelogramm berechnen, oder? Kann es auch vorkommen, dass das Kräftedreieck, das ich aus den Vektoren zeichne, nicht rechtwinklig ist? Wenn ja, was mache ich dann? Gibt es weitere Methoden mit Vektoren in der Physik zu rechnen, die ich auf unserem Niveau erwähnen sollte/müsste?