Was ist die kleinste Quadratzahl einer Primzahl, die sich als Produkt zweier anderer Primzahlen darstellen lässt?
Z.B. 41 ist eine Primzahl. Deren Quadrat ist 1681
1681 lässt sich aber nur durch 41 teilen. Da klappt es also nicht.
Was also ist die kleinste Quadratzahl einer Primzahl, die sich auch anders zerlegen lässt?
6 Antworten
Das gibt es natürlich nicht.
Die Primfaktorenzerlegung ist eindeutig.
Wenn man eine Primzahl p mit sich selbst multiplizierst, hat p² selbstverständlich nur p als (doppelten) Primfaktor.
es gilt übrigens für alle Zahlen:
das Produkt a * b hat keine Primfaktoren außer jenen, die schon in a und b stecken.
Wie beweist man das?
Google nach "Beweis Eindeutigkeit Primfaktorenzerlegung".
Intuitiv finde ich das erstaunlich.
Intuitiv finde ich das schlüssig: woher sollten den plötzlich andere Faktoren kommen? Wenn ich 2*2 multipliziere, wie soll das Plötzlich durch (z.B) 5 teilbar sein? Wo soll der Faktor herkommen?
Modifizierte Frage: Gesucht ist das kleinste Doppelte eines Primzahlquadrats, das genau zwischen einem Primzahlzwilling liegt. Oder gibt es das auch nicht?
Die Zahl zwischen den Zahlen eines Primzahlenzwillings ist immer durch 6 teilbar (außer beim Zwilling 3,5. Hier sieht man aber, dass 4 nicht das Doppelte eines Quadrats ist).
Das bedeutet, das Primzahlenquadrat muss durch 3 teilbar sein.
Die einzige Primzahl, die durch 3 teilbar ist, ist die 3 selbst. 2*3² = 18
18 liegt zwischen 17 und 19, hier ist die Bedingung erfüllt.
Die kleinste und auch einzige Primzahl, die das erfüllt, ist also 3
Du hast eine Primzahl x. Das heißt, die Zahl ist nur duch 1 und sich selbst teilbar (wobei 1 keine Primzahl ist).
Dann nimmst du x * x.
Überrascht es dich, dass diese Zahl nur durch x teilbar, sich selbst und 1 teilbar ist?
Die Zahl selbst und 1 sind jedoch keine Primzahlen, also wirst du nie andere Teiler außer x finden.
Um ehrlich zu sein, ja, es überrascht mich dass x² stets nur durch x teilbar ist. Z.B. 3² = 9 und 2*5=10. Das ist doch nur haarscharf daneben.
Na gut, dann suchen wir eben nach der kleinsten Quadratzahl einer Primzahl, die von einem Primzahlzwilling umgeben ist. Oder gibt es das auch nicht 😉
Upps, gibt es auch nicht, aber gleich hab ich die Frage.
Die kleinste Primzahl deren Quadrat verdoppelt von einem Primzahlzwilling flankiert wird. 2² = 4, 2*4=8. 8 wird flankiert von 7 und 9, wobei 9 fast eine Primzahl ist ;-)
x² ist nicht immer nur durch x teilbar - z.B. lässt sich 10² = 100 außer durch 10 auch noch durch 2, 4, 5, 20, 25 und 50 teilen. (Auf die verschiedenen Teiler kommt man, wenn man alle möglichen Kombinationen von Primfaktoren aus der Primfaktorzerlegung von 100 = 2×2×5×5 bildet.)
Das "x² stets nur durch x teilbar ist", gilt nur, wenn x eine Primzahl ist.
Das geht nicht. Sieh dir mal die Primfaktorzerlegung an.
https://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung
Für jede beliebige Zahl gibt es immer nur exakt eine Möglichkeit, diese als Produkt von Primzahlen darzustellen.
Wenn unsre Primzahl p ist, dann ist die Primfaktorzerlegung ihres Quadrates p × p.
Das Quadrat einer Primzahl kann keine anderen Faktoren als die Primzahl selbst haben, da die Primzahlzerlegung jeder Zahl eindeutig ist.
Es gibt als nicht nur keine "kleinste Quadratzahl einer Primzahl, die sich als Produkt zweier anderer Primzahlen darstellen lässt", es gibt überhaupt keine Quadratzahl, die diese Bedingung erfüllt. Es es gibt nicht einmal überhaupt irgendeine Zahl, die sich auf zweierlei Weise als Produkt zweier Primzahlen darstellen lässt.
Es es gibt nicht einmal überhaupt irgendeine Zahl, die sich auf zweierlei Weise als Produkt zweier Primzahlen darstellen lässt.
Kannst du das beweisen?
Dass die Primzahlzerlegung eindeutig ist, lernt man normalerweise dann, wenn man in der Schule die Primzahlzerlegung behandelt, um den ggT oder das kgV von Zahlen zu finden - das ist meiner Erinnerung nach Thema so etwa im 5. oder 6. Schuljahr
Beweisen kann ich es aus dem Ärmel nicht (mehr), man kann den Beweis aber problemlos im Netz finden, z.B. unter
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung#Beweis_der_Eindeutigkeit
>1681 lässt sich aber nur durch 41 teilen.
seltsam - oder ? :-)
Wie soll das gehen? Meinst du was anderes? Primzahl bleibt Primzahl...
Intuitiv finde ich das erstaunlich. Wie beweist man das?
Modifizierte Frage: Gesucht ist das kleinste Doppelte eines Primzahlquadrats, das genau zwischen einem Primzahlzwilling liegt. Oder gibt es das auch nicht?