Was ist die Endziffer von 2 hoch98765?
Ja Hey was ist die Endziffer von 2^98765 also die Zahl die als letztes kommt und wie kommt man auf das Ergebnis ? Habe lange überlegt und auch mit Taschenrechner probiert und recherchiert aber ich komme nicht drauf
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
Die Endziffern von 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, ... wiederholen sich periodisch ...
2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ...
D.h. wenn man den Exponenten um 4 erhöht, hat man wieder die gleiche Endziffer wie zuvor. Teile nun 98765 mit Rest durch 4:
98765 = 24691 * 4 + 1
Demnach hat 2^98765 die gleiche Endziffer wie 2^1, womit die Endziffer 2 ist.
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Ansonsten könnte man alternativ das auch so sehen, dass man den Rest von 2^98765 bei Division durch 10 sucht, also 2^98765 mod 10 berechnet werden muss. Da schreibe ich gleich nochmal kurz was dazu. Einen Moment ...
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Ansonsten kann man das natürlich auch einfach einen PC rechnen lassen. Beispielsweise erhält man mit WolframAlpha schnell das Ergebnis geliefert:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=last+digit+2%5E98765
Aber ich glaube das ist nicht der Sinn der Aufgabe.
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Hier habe ich dir nochmal eine Rechnung aufgeschrieben, die ein wenig mehr mathematische Zahlentheorie ausnutzt:
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/7_nmmslarge.png?v=1438863662000)
2^5 endet wieder auf einer 2.
Da 98765 durch 5 teilbar ist, ist die letzte Ziffer wieder eine 2.
Edit: Meine Begründung ist falsch, das Ergebnis stimmt, siehe Kommetar.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/7_nmmslarge.png?v=1438863662000)
2^1 endet auf 2, 2^5 endet auf 2, 2^9 endet auf 2.
Also: alle 2^n, bei denen n = 1 + 4*m ist, enden auf 2.
98764 = 1 + 4 * 24691.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/7_nmmslarge.png?v=1438863662000)
Du hast mich richtig verstanden, ich war zu schnell. Begründung siehe in meinem Kommentar dazu.
Aber:
2^15 = 32768
Oder habe ich Dich falsch verstanden?