Was ist der Unterschied zwischen "entfernen" und "beseitigen"? Ich wäre dankbar, wenn ihr auch Beispiele gebt?

Im Prinzip bedeuten die Wörter dasselbe, wenn man die
passende Bedeutung von "entfernen" meint. Man kann
zum Beispiel nicht sagen "Australien ist weit beseitigt".

"Beseitigen" ist ein stärkeres Wort, ansonsten
sind die beiden synonym. Nur in bestimmten
Zusammenhängen ist eines davon üblicher.
Probleme werden z. B. üblicherweise
beseitigt und nicht entfernt. Falsch ist "entfernen"
aber hier auch nicht, nur ungebräuchlich.

Je nach Bedeutung kann man das oft synonym verwenden, manchmal nicht.

Man kann z.B. sowohl "einen Fleck entfernen" als auch "einen Fleck beseitigen", aber man kann sich beim Wandern nur "vom Startpunkt entfernen", nicht aber "vom Startpunkt beseitigen".

Wenn sich "entfernen" also auf die Tatsächliche "Entfernung", also etwas örtliches, eine Distanz, bezieht, dann geht "beseitigen" nicht.

Im Allgemeinen kann man die beiden Begriffe als gleich betrachten. Doch wird im Hochdeutschen Sprachraum noch tatsächlich zwischen den beiden Begriffen differenzieren, um gewisse Genauer zu beschreiben. Denn wenn man etwas einfach etwas beiseitelegt, dann hat man es zwar beseitigt, aber niemals entfernt.

Und wenn man etwas aus dem Auge entfernt, dann hat man es nicht nur beseitigt, sondern entfernt damit es nicht wieder ins Auge gelangt.

Im norddeutschen Sprachraum wird mit dem Begriff „entfernen" etwas bezeichnet, das aus dem Wirkungsbereich absolut eliminiert wird. Dagegen ist „beseitigen" ein temporärer Standortwechsel, der außerhalb der Wirkungsmöglichkeiten liegt.

Man kann aber auch den Sinn der Entfernung beseitigen, indem man diesen Zusammenhang ignoriert, um damit eine hochdifferente Sprache zu vereinfachen, weil man sowieso niemals zu kompliziert denkt und damit alle Sprachprobleme: beseitigt? entfernt? oder gar eliminiert? 

Aus dem Bauch heraus würde ich sagen, dass man beim entfernen etwas von einem Punkt weg bewegt, während man beim beseitigen die Existenz beendet.

Der entfernte Schmutz ist damit hinterher nur woanders, der beseitigte Schmutz ist hinterher nicht mehr vorhanden.

Das würde auch erklären, warum beseitigen als die härtere/negativerer Begrifflichkeit verstanden wird, auch wenn beide häufig synonym verwendet werden.

Schmutz, Müll usw. beseitigt man und als Krimineller beseitigt man auch Menschen und deren Leichen. Was beseitigt wurde, ist nicht mehr ohne Aufwand aufzufinden.

Entfernen kann man alles Mögliche, was irgendwie und irgendwo stört / nicht am richtigen Platz ist – inklusive sich selbst.