was ist der unterschied zwischen einer homogen und einer inhomogenen linearen Funktion?

Eine Funktion f ist homogen, wenn

f(ax) = af(x)

für alle definierten x und alle reellen Zahlen a gilt. Wenn du also eine lineare Funktion

g(x) = mx+n

hast, und du die Eigenschaft versuchst zu überprüfen, also

g(ax) = max+n ≠ ag(x) = a(mx+n),

siehst du vielleicht, dass diese nur für den Fall n=0 erfüllt ist. Somit sind alle linearen Funktionen der Form

f(x) = mx

homogen. Da Homogenität eine Eigenschaft der Linearität ist, nennt man Funktionen wie g oben auch affin-linear, da für n≠0 die Homogenität nicht erfüllst ist.

Der Hauptunterschied zwischen einer homogenen linearen Funktion und einer inhomogenen linearen Funktion liegt in dem Begriff "homogen" bzw. "inhomogen" und bezieht sich auf den konstanten Term der Funktion. Eine homogene lineare Funktion ist eine Funktion, bei der der konstante Term gleich Null ist. In anderen Worten, sie hat die allgemeine Form f(x) = mx (in einer Variablen) oder Ax = 0 (in mehreren Variablen), wobei m, A und x Variablen bzw. Koeffizienten sind. Da der konstante Term 0 ist, geht die Funktion immer durch den Ursprung (0,0). Inhomogene lineare Funktionen hingegen haben einen konstanten Term, der ungleich Null ist. Die allgemeine Form einer solchen Funktion ist f(x) = mx + b (in einer Variablen) oder Ax = b (in mehreren Variablen), wobei b der konstante Term ist, der ungleich Null ist. Diese Funktionen gehen nicht durch den Ursprung, es sei denn, der konstante Term wäre zufällig gleich Null (was jedoch gegen die Definition einer inhomogenen Funktion spricht). Um es kurz zusammenzufassen: Homogene lineare Funktionen haben einen konstanten Term von 0 und gehen durch den Ursprung, während inhomogene lineare Funktionen einen konstanten Term ungleich Null haben und nicht zwingend durch den Ursprung verlaufen. Ich hoffe ich konnte dir mit meiner Antwort weiterhelfen. Liebe Grüße, Carina Sophie Schoppe :)