Was ist der Unterschied zwischen einem bestimmten und unbestimmten Integral?

Ein bestimmtes Integral ist ein Zahlenwert, grob gesagt der Inhalt der Fläche zwischen Funktion, x-Achse und den Integrationsgrenzen.

Ein unbestimmtes Integral ist eine Funktion, nämlich die sogenannte Stammfunktion von der Funktion, die unter dem Integralzeichen steht (+ einer Konstante C).

Und nun zu etwas völlig anderem:

Zwei Mathematiker sitzen zusammen in einem Restaurant und diskutieren über die mathematische Bildung in der Gesellschaft. Der eine (nennen wir ihn A) findet dass die ganz schön gut ist. Der andere, B, denkt sie ist katastrophal. A geht auf die Toilette und fängt dabei die Kellnerin ab. Er sagt ihr:

"Ich stelle Ihnen gleich wenn Sie zu uns an den Tisch kommen eine Frage. Bitte antworten Sie mit Klar, (x^3)/3."

Die Kellnerin: "Ok".

Als sie dann an den Tisch kommt, sagt A:

"Können Sie mir sagen was die Stammfunktion von x^2 ist?"

Die Kellnerin antwortet:

"Klar, (x^3)/3!"

Triumphierend wendet sich A an B und sagt "Siehst du!"

Darauf die Kellnerin:

"Plus einer beliebigen Konstante!"

Und die Moral: Manchmal müssen auch Mathematikerinnen und Mathematiker kellnern :-)

Bei einem unbestimmten Integral gibst du keine x-Werte für von ... bis an. Es ist eine Art Formel.

Bei einem bestimmten Integral sind von ... bis-Werte unter beziehungsweise über dem Integralzeichen angegeben.