Warum wird beim Integrieren durch Substitution nicht immer das x beim einsetzen in dx mitgenommen?
Nimmt man ihn einmal mit, weil sich dadurch das x³ wegkürzt, kann man sich das so aussuchen, dass man ihn einmal mitnimmt und einmal nicht? das erschein mir irgenwie komisch :/
6 Antworten
Ich verstehe nicht, was du mit " mit Nehmen " meinst; schade dass du mir keine Nachricht zukommen lassen kannst. Ich sage also
u := 1 + x ^ 4 ( 1a )
( du/dx ) = 4 x ³ ( 1b )
Was dein Lehrer besonders gern hat: Du fasst ( du/dx ) auf als Bruch und stellst ( 1b ) um nach dx , weil du ja für dx einsetzen willst.
dx = du / ( 4 x ³ ) ( 2 )
Dieses Substituieren hätte natürlich keinen Sinn, wenn sich hinterher nicht jede Abhängigkeit von x weg kürzen wpürde ===> vollständiges Differenzial.
Eine allgemeine Regel, wie man substituiert, gibt es allerdings nicht; ja es gibt sogar Integrale, die sich elementar geschlossen gar nicht auswerten lassen; an denen die klügsten Köpfe gescheitert sind.
Es wäre wirklichnett, wenn du eine Möglichkeit fändest, mir eine Nachricht zukommen zu lassen.
Im Zähler fehlt ein x das ich nicht aus der Aufgabe übernommen habe. damit kürzt sich das x aus dem dx = du/2x *facepalm*
aber darf man du/dx nicht schreiben? ist das falsch? soll ich lieber nur du = 2x schreiben? und den rest im Kopf machen?
ich denke da ist einfach nur ein fehler, das x müsstest du beide male mitnehmen
Wenn ichdas beim zweiten mal mitnehme, wie soll ich das dan nintegrieren? ich hab ja dann x und u in der gleichung? Und wie soll ich dann auf die richtige Lösung kommen? die angegeben ist nämlich richtig.
Formel F(x)=Integral(f(z)*dz*1/z´)
funktioniert nur,wenn z´=dz/dx=konstant oder wenn sich das übriggeblieben x aufhebt.
b) siehe Mathe-Formelbuch,Differentialrechnung,elementare Ableitungen
(arctan(x))´=1/(1+x^2) oder (arccot(x))´=1/(1+x^2)
F(x)=Integral(1/(1+x^2)*dx)=arctan(x)+C
Das zweite Integral ist falsch, das Integral 1/(x^2+1) ist arctan(x).
Das Verfahren über die Substitution funktioniert hier nicht, meistens weisd man diesen Zusammenhang nach indem man das Integrieren als die Umkehr des Differentieren ansieht und die Ableitung von arctan(x) kennt.
Man setzt natürlich immer komplett ein.
Allerdings funktioniert Integration durch Substitution nicht bei jedem Integral. Das macht meist nur Sinn, wenn sich das x komplett rauskürzt.
1/(1+x^2) ist ein Standardintegral, sprich das solltest du dir am besten merken/aufschreiben:
Integral (1/(1+x^2)) dx = [arctan(x)]
Im Zähler fehlt ein x das ich nicht aus der Aufgabe übernommen habe. damit kürzt sich das x aus dem dx = du/2x *facepalm*
Im Zähler fehlt ein x das ich nicht aus der Aufgabe übernommen habe. damit kürzt sich das x aus dem dx = du/2x *facepalm*