Warum werden nur die nicht-trivialen Nullstellen der Zeta -Funktion verwendet?
Hi
In der riemannschen Zeta-funktion gibt es die Trivialen und die nicht-trivialen Nullstellen. Aber warum nutzt man in diversen Formel (Beispiel Tschebytschowsche Psi-funktion) nur die nicht -trivialen Nullstellen, obwohl die trivialen auch ein Muster aufweisen.
P.S. Ich weiß wie man auf die Nullstellen kommt und wie die Zeta-funktion funktioniert (zumindest wie viel auf Wikipedia steht)
1 Antwort
Es sind oftmals auch alle Nullstellen der Riemanschen Zetafunktion interessant.
Für den Primzahlsatz gilt zB die äquivalente Aussage, dass die Riemansche Zetafunktion keine Nullstellen mit einem Realteil von größer gleich 1 besitzt.
https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlsatz
Für die trivialen Nullstellen der Zetafunktion lässt sich das ja auch nachweisen, allerdings ist nicht geklärt ob die Riemansche Zetafunktionen nur nichttriviale Nullstellen mit dem Realteil 1/2 besitzt. In so fern ist es auch nicht geklärt, ob diese Nullstellen keinen Realteil von größer als 1 besitzen.
An dieser Funktion sind eben nur die nichttrivialen Nullstellen interessant, in so fern beschränken sich alle Untersuchungen und andere Funktionen welche auf dieser riemanschen Vermutung beruhen auf die nichttrivialen Nullstellen, weil die trivialen bereits bekannt sind.
Nein es geht darum, dass man die Trivialen Nullstellen kennt, somit kann man diese Trivialen Nullstellen, auch immer durch eine geschlossene Form unabhängig von der Zeta Funktion betrachten, was aber von der Funktion immer übrig beleiben wird sind die nichttrivialen Nullstellen.
Nehmen wir zB an wir definieren, die n-te Partialsumme der Nullstellen der Zeta Funktion über: Summe der Realteile der ersten n trivialen Nullstellen + Summe der Realteile der ersten n nichtrivialen Nullstellen der Zeta Funktion.
Die Partialsumme der ersten n trivialen Nullsten der Zetafunktion kann ich jetzt eventuell durch eine Geschlossene Funktion beschreiben. Ich brauche dazu also nicht die gesamte Zetafunktion zu betrachten.
Die Partialsumme der ersten n nichttrivialen Nullstellen kann ich allerdings nur durch die Zetafunktion selbst ausdrücken und daher bleiben nur diese Nullstellen in meiner Formel als unebstimmte Faktoren über.
Erstmal eine kleine korrektur:
Im 3ten Absatz :Es ist bewiesen, dass es nur komplexe Nullstellen gibt für die gilt: 0<= Re(s) <=1
Und wenn ich den Rest richtig verstanden habe, sagst du, dass es mit den trivialen Nullstellen möglich sei, aber da man den nicht-trivialen Nullstellen auf die schliche kommen will, macht man es mit diesen.