Warum steigt die Wahrscheinlichkeit Zahl zu werfen nach 1000 mal Kopf nicht?
Mir ist klar, dass beim Münzwurf die Wahrscheinlichkeit 0,5 ist, also bevor jemand zu schnell antwortet, erstmal lesen.
Bei unendlich mal Werfen, müssten Kopf und Zahl ein 50/50 Verhätnis aufweisen.
Je öfter man wirft, desto näher kommt das Verhältnis zu diesem Wert
Mein Gedanke ist deshalb: Solte die Wahrscheinlichkeit nach dem unwahrscheinlichen Ereignis 1000 mal Kopf zu werfen nicht höher sein endlich mal eine Zahl zu werfen, da es sich langsam anfangen sollte anzunähern?
Ich habe mich darüber mit einer Frau unterhalten, die Mathe studiert hat und sie sagte mir, dass die Wahrscheinlichkeit mathematisch gesehen bei einem Münzwurf immer 0,5 bleibt. Ein Kollege brachte das Beispiel, dass eine Münze kein Gedächtnis hat und es somit egal ist was vorher war. Bei dem Kollegen brachte ich anschließend das Argument, dass bei dem bekannten Ziegen-Problem das zuvor geschehene auch berücksichtigt werden musste um die richtige Wahrscheinlichkeit anzugeben. Der Frau versuchte ich meinen Gedanken so zu erklären:
- Wenn man "Unendlich" als Zahl sieht und ein halbes unendlich mal Kopf geworfen wird, muss anschließend nur noch Zahl kommen.
Darauf antwortete sie mir, dass ich unendlich nicht als Zahl sehen darf, was ich auch verstehe und dennoch ergibt es in meinem Kopf so keinen wirklichen Sinn.
Ich habe ihr gesagt, dass wenn man es meiner Meinung nach experimentell schaffen würde 1000 mal Kopf zu werfen und das mehrmals, würde der 1001 Wurf öfter Zahl ergeben, womit die Wahrscheinlichkeit in dem Fall Zahl zu werfen höher wäre. Sie antwortete mir mit einem einfachen nein und meinte, dass man das mathematisch berechnen kann und auf eine 50% Chance kommt. Und genau das glaube ich irgendwie nicht ganz. Kann mir jemand einen Beweis für ihre Aussage liefern oder meine Aussage widerlegen? Und selbst wenn mir jetzt jemand einen Beweis dafür liefert: Könnte diese Rechnung nicht falsch sein? Oder Einige Aspekte nicht berücksichtigen?
10 Antworten
Odatas hat das bisher find ich am besten beschrieben,
ohne gewähr auf richtigkeit gebe ich meinen senf dazu:
wie wahrschenlichkeit 1000 mal nacheinander kopf zu werfen ist (0.5)^1000, aber der darauf folgende 1001 wurf hat wieder die wahrschenilichkeit 50:50 ob kopf oder zahl.
wie denkst du sonst kann man (0.5)^1000 rechnen, wenn es denn nicht immer 50:50 wäre?
das ist so: ein laplace-experiment(oder wie das auch wieder heißen mag), ist eines, bei dem jedes ereignis gleichwahrscheinlich vorkommt. beim münzwurf (vereinfacht, also keine kante als mögliches ergebnis) ist das der fall. damit ist die chance 50:50
nun verkettet man dieses laplace-experiment und erhält ein weiteres la-place experiment.
beispielsweise für 2 münzwürfe:
die ereignisse, die passieren können sind { (kopf,kopf) , (kopf,zahl), (zahl,kopf) , (zahl,zahl) }
das sind alle möglichen versuchsergebnisse... diese ereignisse haben auch wieder dieselbe wahrschenilichkeit, da wir ein laplace-experiment verkettet haben.
jedes versuchsergebnis hat demnach eine wahrscheinlichkeit von 25%, da es 4 ereignisse gibt.
bei 1000 würfen hat dann jedes ereignis (auch 1000 mal kopf) die wahrscheinlichkeit (0.5)^1000 (1000 einzelne experimente verkettet mit jeweils wahrscheinlichkeit 50:50)
der 1001 wurf bietet dann ergebnisse mit einer wahrscheinlichkeit von (0.5)^1001, und das eben deshalb, weil das zusätzliche werfen wieder eine wahrscheinlichkeit von 0.5 hat.
was ich nun dazu sagen möchte ist, dass sowohl 1000 kopf + 1 zahl und 1001 kopf gleich-wahrscheinlich sind... aber auch 100 kopf + 901 zahl und alle anderen auch. der punkt ist dass wir uns bei 1001 wild durcheinander geworfenen ereignissen nicht merken können oder nicht auf einmal erfassen können, was eigentlich passiert ist, aber falls es 1000 mal kopf war, dann können wir das doch ! deswegen reden wir menschen uns sein, dass dies etwas besonderes sei, weil es uns aufgefallen ist. in der tat ist es aber genau so gewöhnlich wie abwechselnd kopf und zahl zu werfen oder andere ereignisse.
der 1001 wurf hat chance 50:50
nun zum deinem gesetz der großen zahlen, welches du beschrieben hast.
unendlich ist keine zahl, sondern eher eine situation, die nicht erreicht werden kann.
dennoch können wir aussagen darüber treffen, wenn wir etwas unendlich oft machen.
warum sich das verhöltnis der geworfenen ergebnisse der wahrscheinlichkeit annähert weiß ich nicht, aber das gilt nur für die unendlichkeit, also für einen unerreichbaren zustand. wir können dadurch nur aussagen, dass etwas sich annähert, aber nicht wann es wie stark angenähert hat.
anschauung zur unendlichkeit:
zu jeder reellen zahl in der mathematik gibt es eine natürliche zahl, welche größer ist. mit anderen worte, keine zahl ist die größte zahl.
nun selbst wenn du 100000000 mal kopf geworfen hast, bleiben noch (weil keine zahl die größte ist) 1000000000 weitere ergebnisse um den annäherungsprozess voranzuschreiten und danach nochmal 100000000 würfe, und dann wieder.. und dann wieder... und dann wieder.....
man spricht in der mathematik von "fast alle", wenn man meint; "alle außer endlich viele ausnahmen". der annäherungsprozess ist "vollendet" wenn fast alle zahlen beliebig nahe am wert, der angenähert wird, sind.
streng mathematisch formuliert:
für alle epsilon>0 (griechischer buchstabe) gibt es hier einen münzwurf, ab dem für alle weiteren (das davor waren die endlich vielen ausnahmen) das verhältnis der ergebnisse nur um epsilon von der wahrscheinlichkeit abweicht. epsilon wird dabei beliebig klein(da gilt: "für alle epsilon...", also auch beliebig kleine)
nun jede zahl, die es gibt ist endlich, denn unendlich ist keine zahl, damit hast du das gesetz der großen zahlen erst dann widerlegt, wenn du unendlich oft eine münze geworfen hast, alles was im endlichen rahmen ist, zählt als "endlich viele ausnahmen".
die wahrscheinclihkeit wird eben nicht in einer bestimmten geschwindigkeit angenähert... man kann dies nicht berechnen, es ist ja zufall!. aber das verhältnis nähert sich früher oder später der wahrscheinlichkeit an, und das obwohl die chance immer 50:50 beträgt.
Danke für die Schmeichelein. Und eine Erklärung finde ich sehr gut. Dafür gibs nen Daumen hoch :)
Faktor Mensch vergessen. Das kannst du nicht berechnen, das ist doch Quatsch. Du wirst die Münze immer anders werfen, folglich landet sie anders, rotiert anders, fliegt höher oder niedriger. Was deine Mathematikerin vergessen hat, ist das eine Münze auch auf der Kante landen kann. Also ist die wahrscheinlichkeit niemals 50\50.
Das ist Blödsinn. In der Mathematik muss man alle Variablen einbeziehen. Und die Kante ist eine Variable!!!
Nein, DAS ist Blödsinn, man geht von perfekten Vorraussetzungen aus und da gibts nur die Möglichkeit Kopf oder Zahl
Da musste es der Herr Professor wohl mal wieder extra umständlich gestalten, wie ? Es ist nicht nur der Mensch, es gibt unendliche Störfaktoren. Besinne dich auf die Theorie, nicht auf die Probleme bei praktischer Umsetzung, wenn die Aufgabenstellung in der Weise der Frage formuliert ist.
Ich kenne das Problem was du hast ganz genau und du musst zwischen 2 Dingen unterscheiden.
Den Einzelnen Versuch
Die Versuchsreihe
Zu 1: Bei jedem Einzelnem Versuch gilt das die Chance 50:50 ist.
Zu 2: Bei weiteren Versuchen gilt die Chancen Multiplizieren sich. Also beim ersten mal für Kopf 50 % jetzt kommt Kopf nochmal das sind dann 0,5x0,5. Dann nochmal ,5x0,5x0,5 usw. Wie du siehst wird die Chance Kopf zu werfen immer geringer. Für jeden der einzelnen Versuche gilt aber 50:50 was bedeutet das es auch unendlich oft Kopf kommen kann. Die Warscheinlichkeit wird bei jedem Wurf immer geringer.
Das wir das nicht so ganz begreifen können läst sich an Lotto beweißen. Die Chance ist 1:140.000.000. Aber trozdem gewinnt ja ab und zu einer und Trifft auf diese unglaublich kleine Warscheinlichkeit doch die richtigen Zahlen.
Das ist mir klar, aber du bist leider auch nicht auf die geschilderte Annäherung an das 50/50 Verhältnis eingegangen und ich würde auch gerne meine Theorie widerlegt haben. Aber trotzdem danke, du bist nicht gleich wertend wie manche anderen hier.
Ich weiß was du meinst. Genau das ist das Problem was mich an der Warscheinlichkeitsrechnung auch stört. Es ist eine Abstrakte Frage und hat mit der Wriklichkeit nicht viel zu tun. Denn jeder normale Mensch versteht das wenn ich Tausend mal Kopf werfe ich beim 1001 mal eine unglaublich hohe Chance haben muss jetzt mal Zahl zu werfen. Und trozdem soll die Chance 50%50 sein.
Und genau da ist der Haken. Die Chance das 1001 mal zahl kommt ist 0,5 hoch 1001 was eine so unglaublich kleine Zahl ist. Für die Wirklichkeit ist ein so unglaublich kleine Zahl irrelevant. Wenn ich als Ingenieur so ein Ergebnis rausbekomme würde ich technisch gesagt sagen die Chance ist 0%. Weil ich z.b. auch auf die 100. Stelle gerundet habe. Und trozdem ist es möglich 1001 mal Kopf hintereinander zu werfen. Und das ist genau deshalb Möglich weil für jeden einzelnen Versuch 50:50 gilt. Die Chance 1000 mal Kopf zu werfen ist 0,5 hoch 1000. Die Chance nach dem 1000 Wurf Kopf zu werfen ist aber 0,5 weiterhin. Stell dir einfach vor die machst 1000 Würfe und schreibst nicht auf was drankam. Jetzt bei dem Wurf hast du die Chance wieder 50:50.
Deshalb sagte ich du darfst nicht den Fehler machen den einzelnen Versuch mit der Versuchsreihe zu verwechseln. Der einzelne Versuch hat immer 50:50 die Versuchsreihe jedoch hat ganz andere Warscheinlichkeiten.
Ich weiß garnicht was deine MAthestudentin meinte mit 50:50 kann man immer ausrechnen deshalb kann ich das auch leider nicht Mathematisch zeigen. Aber rein vom Kopf her. Und keine Angst ich brauche den Bereich der Mathematik nicht und bin heilfroh darüber. Komplexe Zahlen sind deutlich unkomplexer :D
Du hast ganz eindeutig eine unpassende Auffassung des Begriffs "unendlich". Das ist ein reines Gedankenspiel der Mathematik. Wenn du 100000000 Jahre lang eine Münze immerwieder wirfst, wird höchstwahrscheinlich nicht der Wert 50/50 herauskommen. Jeder Wurf (lässt man dich und Umweltgegebenheiten als Störfaktor mal aus) hat lediglich die Chance 50/50. In Verbindung mit dem Ausdruck(nicht der Zahl) "unendlich" trifft es aber zu. Es wäre genauso oft Kopf geworfen worden wie Zahl, wobei ich diesen Satz in einer Vergangenheitsform formuliert habe, was in Verbindung mit "unendlich" ja nicht möglich ist, da der Versuch selbst auch kein Ende finden würde, falls dir das beim Verständnis hilft. Es ist folglich völlig egal, was das Ergebnis der vorigen Versuche war, der 1001. Versuch wird davon nicht beeinflusst. Desweiteren nähert sich der Wert der 50/50 so oder so. 10/0 ist in dem Sinne näher an 50/50 als 0/0.
Ok gut, mit dem Begriff "Unendlich" hast du recht. Aber hier noch ein Gedanke: Wenn man sich durchgeführte Wurffolgen anschaut, entdeckt man, dass z.B. 2 mal hintereinander Kopf oft vorkommt, 7 mal hintereinander Kopf seltener und 14 mal hintereinander Kopf sogut wie gar nicht. Außerdem erkennt man auch, dass nach 14 mal Kopf, die nächsten 14 Würfe nicht aus 7 mal Kopf und 7 mal Zahl bestehen, oder immer zu einem von beidem tendieren, sondern eher öfter Zahl in diesen 14 nächsten Würfen kommt. Und das finde ich durch die Annäherung auch logisch. Ich habe das so aus unseren Testwürfen im Unterricht in Erinnerung und natürlich haben wir nicht oft genug geworfen aber du weißt ja was ich damit meine. Ist es dann nach 1000 mal Kopf nicht Wahrscheinlicher danach öfter eine Zahl zu bekommen?
Wenn man das am Ende runterrechnet bleibt die Wahrscheinlichkeit bei 50/50
Theoretisch ist es sogar möglich, dass die Münze, wenn du jetzt anfängst und bis an dein Lebensende wirfst, immer auf der Zahl liegenbleibt. Praktisch ist es auch möglich. Die Chance besteht, wennauch unwahrscheinlich wie sonstwas. Letztendlich ist aber jeder Versuch ein ganz individueller. Er wird nicht durch den vorherigen, wann auch immer er stattgefunden haben mag, beeinflusst. Und die Statistik, die ihr im Unterricht erstellt habt, kann bei einer weiteren Versuchsreihe, je nach dem wie lang sie ist, variieren, denn die Statistik hat sich aus einer(in der Theorie) völligen Chancengleichheit herausgebildet.
Hallo, dieses Problem ist nicht so ganz einfach zu begreifen. Es ist vermutlich richtig, dass du bei einer endlichen Versuchsreihe öfter eine Folge von genau 2 mal Kopf zu kriegen als eine Folge von genau 7 mal Kopf. Aber du vergleichst hier Äpfel mit Bananen. Beim ersten mal begutachtest du nur eine Folge von 2 Würfen und beim zweiten eine Folge von 7. Betrachtet man mal nur die Folgen von 7 Würfen, dann sieht man schnell, dass eine Folge von 7 Köpfen in etwa genausooft vorkommt wie die Folge 4xKopf + 3xZahl in dieser Reihenfolge. Die Folge 7 Köpfe kommt nur deshalb seltener vor als die Folge 2 Köpfe, weil die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten 2 Würfe-Ereignisses bei 0,5^2 liegt und die eines bestimmten 7-Würfe-Ereignisses nur bei 0,5^7.
Genauso muss man auch das Problem behandeln, dass du in der Fragestellung aufwirfst. Die Folge 1000 Köpfe ist an sich nicht sonderlich wahrscheinlich, aber das beeinflusst nicht den nächsten Wurf. Jede bestimmte Folge von 1001 Würfen hat die Wahrscheinlichkeit 0,5^1001. Also ist auch die Wahrscheinlichkeit von 1001 Köpfen gleich der Wahrscheinlichkeit 1000xKopf+1xZahl.
Äpfel und Bananen :D Das war mir wirklich nicht klar, wieder etwas dazugelernt, danke :)
Wie ich das sehe: Der grad der bei ihnen zwischen realität und warscheinlichkeit herscht ist sehr eng. eine warscheinlichkeit allein hat keine auswirkung auf die geschehnisse oder auf den verlauf der münzwürfe also die realität. sie setzt keinen hergan vorraus oder beeinflusst diesen, sondern beschreibt ihn nur und rechnet mit den verschieden resultaten vorraus. Es ist also logisch das jeder individuell vollzoge wurf eine eige warscheinlichkeits rechnung hat und diese jeweils für sich stehen und nicht mit einem anderen wurf zu verknüpfen sind, wie es ihr werter Kollege angedeutet hat.
Mit Freundlichen grüßen Jonatan
PS: Endschuldigen sie bitte meine Rechtschreibung, ich bin Legasteniker
Ich wollte auch kein Ergebnis berechnen, sondern die Wahrscheinlichkeit und sowas ist sehr wohl möglich. Außerdem geht man von einem Münzwurf-Experiment in der Mathematik davon aus, dass das Ereignis Kante, ein unmögliches Ereignis ist.