Warum soll 1 = 0,9999 sein?
Ich habe auf Tiktok ein Video mit einer Rechnung gesehen, die beweisen soll, dass 1 = 0,99999… ist. Für mich gibt die Rechnung irgendwie Sinn aber irgendwie eigentlich auch so gar nicht. Hat da jemand eine Erklärung?
Das Bild zur Rechnung ist unten ⬇️
15 Antworten
Hallo,
Du hast eine 0, ein Komma und dahinter unendlich viele Neunen.
Um diese loszuwerden, multiplizierst Du zunächst
0,999... mit 10, wodurch das Komma um eine Stelle nach rechts verschoben wird:
9,999...
Wenn Du 0,999... x nennst, ist 9,999... zehnmal soviel, also 10x.
Ziehst Du von 10x, also 9,999... x, also 0,999... ab, verschwinden alle Neunen hinter dem Komma und es bleibt 9 übrig.
Es gilt also 10x-x=9.
10x-x=9x
9x=9, x=1.
0,999...=x=1
Herzliche Grüße,
Willy
Siehe mein Kommentar dazu. Meine Antwort war ja nur die Erläuterung des Rechenweges aus dem Internet. Mein Kommentar zeigt, daß er im Grunde unsauber ist.
Das liegt daran, dass nicht "sehr viele" Neuner kommen, sondern unendlich viele.
Was ist denn 1 - 0,99999... ?
Oder anders: 0,3333333.... * 3 = ?
Und 1/3 = ?
Vielleicht siehst du, worauf ich hinaus will...
Ist das gleiche Problem. Hier hast Du es mit Ausdrücken zu tun, deren Grenzwert eine bestimmte Zahl ist, die aber niemals erreicht wird.
Der Grenzwert von 0,333... ist 1/3. Insofern also klar ist, daß mit 0,333... ein Grenzwert gemeint ist, bin ich ja bei Dir. Die Schüler meinen aber, 0,333... sei eine konkrete Zahl, was bei dieser Schreibweise suggeriert wird. In diesem Fall würde die Gleichheit aber nicht stimmen.
Mir ist klar, was ein Grenzwert ist, den meisten Schülern aber nicht.
Da widerspreche ich dir:
0,3 periodisch ist kein Grenzwert.
Die Zahl lässt sich natürlich als Grenzwert darstellen, die Zahl selbst ist es aber nicht.
Es IST ein konkreter Wert.
(Sobald man das Zahlensystem etwa ins Duodezimalsystem wechselt, verschwindet auch die Periodizität bei 1/3. Es ist also nur ein "Darstellungsproblem" im Dezimalsystem.)
Allerdings sieht das zwar alles gut und schön und richtig aus, hat aber einen Pferdefuß. Wenn Du 9,999....-0,999... rechnest - ergibt das wirklich 9?
Hinter der 9 und dem Komma stehen unendlich viele Neunen. hinter der 0 und dem Komma auch. Wenn Du aber unendlich viele Neunen von unendlich vielen Neunen abziehst - bleibt da wirklich Null übrig? Wenn Du unendlich viele Neunen hast und packst noch mal unendlich viele dazu, hast Du immer noch unendlich viele Neunen und nicht zweimal unendlich viele Neunen.
Es gibt keine Menge, die Du von unendlich abziehen kannst, so daß eine endliche Zahl an Elementen übrig bleibt. Wenn aber unendlich minus unendlich nicht unbedingt Null ist, fällt der ganze Beweis natürlich in sich zusammen.
Wenn etwa der Grenzwert von 1/n für n gegen unendlich nicht gegen Null ginge, sondern genau Null wäre, würde die ganze Integralrechnung nicht funktionieren. Da teilst Du die Fläche unter der Kurve in unendlich viele Rechtecke auf, deren Breite gegen Null geht. Wäre sie genau gleich Null, würdest Du unendlich mal nichts aufsummieren und hättest immer noch nichts. Tatsächlich summieren sich die unendlich vielen unendlich schmalen Rechtecke aber tatsächlich zu einer sicht- und meßbaren Fläche.
Es bleibt also doch ein Unterschied - unendlich klein, niemals meßbar, niemals benennbar - aber vorhanden.
0,999... geht gegen 1, ist aber nicht mit 1 identisch.
Bitte, nein.
Das Problem ist, dass man in der Schule zwar die Schreibweise - entweder mit der Periode oder mit den Pünktchen - benutzt, aber leider nicht wirklich erklärt, was damit gemeint ist. "Hinter dem Komma stehen unendlich viele Neunen" ist zwar umgangssprachlich verständlich, aber was soll das bedeuten? Mathematisch ist das völlig klar: 0,Periode 9 oder 0,999... IST der GRENZWERT der Folge
0,9
0,99
0,999
usw. Und dieser Grenzwert ist 1. Wenn man nicht weiß, was ein Grenzwert ist oder was so was wie eine unendliche Reihe ist und das die überhaupt nichts unklares oder komisches ist, sondern - wenn sie konvergiert - einen ganz fixen Wert hat, dann kommt man zu dem falschen Schluss, dass 1 und 0,periode9 irgendwie was unterschiedliches sind. Es gilt aber ganz einfach die Gleichheit.
Eben. Der Grenzwert ist 1. Dann muß man das auch bitte so schreiben und nicht einfach 0,999...=1
Ja... aber was bedeutet dann 0,999....überhaupt, wenn nicht den Grenzwert? Die Pünktchenschreibweise ist nicht wirklich ungewöhnlich in der Mathematik, und natürlich bedeutet sie - wie die Periodenschreibweise - nichts anderes als den Grenzwert, was denn sonst?
Es wird aber suggeriert, daß 0,999... irgendwann die 1 erreicht. Das passiert aber ebensowenig wie 1/n für irgendein riesiges n irgendwann genau Null ist.
Du wirst aber kein n finden, für das gilt: 1/n=0.
n=unendlich zählt nicht, weil unendlich keine Zahl ist. Die Null wird beliebig angenähert, aber niemals erreicht.
Also: lim (n gegen unendlich) von 1/n=0, aber für kein n im Universum gilt:
1/n=0.
Erneut: Was ist denn dann 0,999.... überhaupt? Definiere mir doch mal diesen Ausdruck, mehr will ich doch gar nicht, und zwar nicht irgendwie umgangssprachlich, sondern als mathematischen Ausdruck. Was bedeuten die Pünktchen?
Wenn Du es als eine andere Darstellung von 9/9 siehst, ist es gleich 1.
Ich halte die Darstellung als Dezimalbruch für zumindest unbefriedigend.
Nein, ich frage nach deiner Definition für den Ausdruck 0,9999....
Was bedeuten die Pünktchen?
Ich weiß schon, was Du meinst. Die Pünktchen stehen für unendlich viele Neunen, man könnte auch 0, Periode 9 sagen.
Das ist 9*0, Periode 1.
Wie ist diese Darstellung aber entstanden? Durch die Division von 1 durch 9.
Diese verlangt unendlich viele Rechenschritte. Bei jedem Rechenschritt wird eine 1 hinter dem Komma hinzugefügt, so daß man sich im Laufe der Rechnung immer mehr dem tatsächlichen Wert 1/9 annähert, aber niemals fertig wird.
Der Rechenweg, der im Video gezeigt wird, beruht auf der Annahme, man könne durch die Subtraktion unendlich vieler Elementen von unendlich vielen Elementen die Null erreichen. Das kann man aber nicht. Letztlich kannst Du die Gleichheit nur durch eine Definition erzielen: 0, Periode 1=1/9.
Nein. Ich definiere nicht 0,periode1 = 1/9.
Ich definiere - leider gibt es bei den Antworten keine Formelschreibweise -
0,periode 1 = Summe (i =1 bis unendlich) 10^(-i) * 1
Das ist die mathematische Definition. Das ist eine Reihe, also eine unendliche Summe. Der Wert dieser Reihe ist definiert als der Grenzwert.
Es stecken also zwei Definitionen drin, das ist richtig: Zum einen die Definition, was die Pünktchen/der Periodenstrich bedeuten, und zum anderen die Definition, was eine unendliche Summe ist. Das sind zwei Standarddefinitionen der Analysis. Nun habe ich zwei reelle Zahlen in unterschiedlichen Schreibweisen, einmal eine Periodenschreibweise, einmal eine Bruchschreibweise. Mit den allgemeinen Definitionen kann ich dann zeigen, dass diese beiden Schreibweisen die selbe Zahl bezeichnen. Dazu muss ich natürlich eigentlich erstmal definieren, was Gleichheit überhaupt bedeutet - anderes Thema - aber ich muss nicht für die einzelne Zahl das definieren.
Das ist aber etwas anderes als die Herleitung aus dem Video. Ich habe diese Herleitung früher auch gern benutzt; mir gefällt aber nicht, wie da einfach unendlich viele Neunen von unendlich vielen Neunen subtrahiert werden und wie selbstverständlich angenommen wird, daß das Ergebnis dann zwangsläufig keine 9 hinter dem Komma mehr ist. Dann ist mir eine klare Definition lieber:
0,999... wird als alternative Schreibweise für 9*1/9=1 definiert. So definiert man ja auch 0! als 1, ohne das groß herzuleiten.
Das kannst du dir auch etwas professioneller hier erklären lassen:
von simpleclub:
https://www.youtube.com/watch?v=MbQwNK6lR9c&ab_channel=Mathe-simpleclub
von Daniel Jung:
https://www.youtube.com/watch?v=Y8g4S-PfeDU&ab_channel=MathebyDanielJung
die These (1 = 0.999999....) wird in der Rechnung benutzt, um die These zu beweisen. Das nennt man eine Tautologie.
Ein ordentlicher Grenzübergang, bei dem von 1 ein unendlich kleiner Betrag (0,0000.....000001) abgezogen wird, könnte suggerieren, dass die These zumindest im praktischen Umgang stimmt; ob allerdings ein unendlich kleiner Betrag gleich null ist im Sinne der Gruppentheorie, ist eine andere Frage.
Mit Gruppentheorie hat das ganze überhaupt nix zu tun - und die These wird auch nicht benutzt, also auch keine Tautologie.
die These wird in der 5. Zeile benutzt. Gruppentheorie unterscheidet ganze Zahlen von reellen Zahlen. Die Frage vergleicht 0.9999... mit 1, nicht mit 1.0000...
Gruppentheorie beschäftigt sich mit den algebraischen Strukturen von Gruppen, d. h. mit solchen Fragen wie Isomorphismen, Untergruppen, Normalteilern, ... Die ganzen Zahlen und und die reellen Zahlen kommen in der Gruppentheorie mal als Beispiele vor, ja, aber die Frage der Konvergenz von Folgen ist wirklich KEIN Thema der Gruppentheorie. Das ist pure Analysis.
dass die Konvergenz etwas mit Gruppentheorie zu tun hat, habe ich auch nicht behauptet ("...ist eine andere Frage" habe ich unklar formuliert?)
Der Witz ist, dass 0,999... eben eine Folge IST. Und es dabei um Konvergenz geht. Weil die (genauer: eine der, aber die weitverbreiteste) Definition der reellen Zahlen auf dem Konvergenzbegriff von Folgen basiert.
Und das man 0.9999... nicht mit 1 vergleichen kann, ist auch keine Frage der Gruppentheorie. Und es ist auch schlicht falsch, denn beim Aufbau des Zahlensystem (zuerst die natürlichen, dann die ganzen, dann die rationalen, dann die reellen), wird in jedem Schritt immer eins gezeigt: Dass man die vorhergehende Menge immer als Teilmenge der folgenden begreifen kann (genauer: einbettet) und daher selbstverständlich 1 genauso eine reelle wie eine rationale wie eine ganze wie eine natürliche Zahl ist.
Die Aussage 0,99999....=1ist richtig.
Sinnvoller Beweis:
Es gilt: 1/3 = 0,33333...
Multipliziert man auf beiden Seiten mit 3 dann ergibt sich:
1 = 0,99999...
Der Schritt 10x - x = 9,99 - x macht keinen Sinn, weil sich dadurch die Gleichung nicht ändert.
Nach dieser Zeile erfolgt der Fehler. Weil danach nur auf der rechten Seite x = 0,9999... eingesetzt wird, aber nicht auf der linken.
Wegen des = Zeichens. Es ist eine Gleichung, keine Ungleichung.
Und die wird falsch, weil? Es steht einem völlig frei, an einer, an allen, an keiner Stelle einzusetzen. Wenn gilt
a + b = 2a - c
und es ist a = 1, dann ist auch
1 + b = 2a - c.
Warum sollte das nicht gelten?
Ist auch richtig, ja, aber deswegen ist das andere nicht falsch. Du kannst natürlich auch beide ersetzen, aber du musst nicht.
Danke für die Erklärung
Ich verstehe die Rechnung und den Sinn dahinter. Für mich ist aber irgendwie immer ein Widerspruch da, als dass ich dachte 0,999… zwar eine starke Näherung an 1 ist, aber ja nie ganz 1 werden kann. Das verstehe ich bisher irgendwie nicht 😅