Warum nimmt die Schwingung der Amplituden in elektromagnetischen Schwingkreisen durch den Ohm'schen Widerstand exponentiell ab?
Vor allem warum exponentiell?
3 Antworten
Fast alles nimmt exponentiell (= prozentual) ab!
- Auspendeln einer Schaukel
- Ausschwingen eines Tons (Saite, Glocke, abklingen eines Halls usw.)
- Radioaktiver Zerfall
- Abkühlen einer Tasse Tee oder eines glühenden Lavasteins
- Menge von ausfliessendem Wasser aus einem Loch zuunterst in einem Fass
- Spannung beim Entladen eines Kondensators
- und vieles mehr.
Grund:
Jedes reale (nicht ideale) physikalische System ist gedämpft. Dies durch so normale Effekte wie Reibung.
https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung#Linear_ged%C3%A4mpfte_Schwingung
Die Dämpfung wirkt bei Schwingungen (oder "Bewegungen" im weiteren Sinn) umso schwächer, je schwächer das System selber noch schwingt (sich bewegt).
Deshalb verliert es pro Sekunde immer den gleichen Prozentsatz der vorherigen Energie (oder Kraft oder Wirkung). Und prozentuale Abnahme (oder auch Zunahme ist eben exponentiell).
Auch beim elektrischen Schwingkreis würde nur ein idealer Schwingkreis ewig schwingen (ideale Spule idealer Kondensator). Hier ist dann halt vor allem der Ohmsche Widerstand für die Dämpfung verantwortlich. Deshalb nimmt das exponentiell ab.
Mathematisch ergibt sich das exponentielle Verhalten aus der Lösung der Differentialgleichung, welche die Schwingungsvorgänge beschreibt.
https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung#Linear_ged%C3%A4mpfte_Schwingung
Ursache ist, dass der Stromfluss durch den Widerstand abhängig von der Spannung ist. Wenn also weniger Spannung vorhanden ist, ist der Stromfluss geringer und somit geht in der gleichen Zeit weniger Energie verloren.
Die Energie, die von einem Schritt (z.B. einer Schwingung) zum nächsten verloren geht ist:
Die Energie im Kondensator (Scheitelpunkt der Spannung) ist:
Wenn du jetzt von Schritt zu Schritt neu rechnest, hast du:
Das führt - wie bei vielen anderen natürlichen Vorgängen - zu einer exponentiellen Abnahme, wenn du die Formeln rekursiv anwendest. (Differenzengleichung/Differenzialgleichung erster Ordnung)
Auch bei Pendeln hast du durch Reibung ein exponentielles Abnehmen der Amplitude (sofern keine Energie zugeführt wird).
Die Lade und entlade Kurve verläuft ebenfalls nach einer e Funktion. natürlich ist sie im Schwingkreis auch wieder am Start. Wir sprechen dann von einer Gedämpften Schwingung.