Warum kann der Sinus ein Polynom sein?
Hallo...mich quält nun schon seit einigen Tagen eine mathematische Fragestellung auf die mir einfach keine wirklich befriedigende Antwort einzufallen scheint. Und zwar geht es um die Reihen Darstellung von Sinus und Kosinus. Zu begreifen weshalb diese Potenz Reihen, in ihrer Definition als infinitesimal, tatsächlich mit der Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis übereinstimmen wäre der letzte Schritt für mich um einen Beweis endlich vollkommen nachvollziehen zu können. Mir ist klar warum die Taylor Entwicklung bei jeder Funktion " funktioniert" von der ich annehmen kann dass sie sich irgendwie als Polynom darstellen lassen können muss (auch wenn es dann vll eben ein Polynom mit Grad unendlich und unendlich vielen Koeffizienten wäre...).Warum aber kann ich davon ausgehen dass das auch beim Sinus der Fall ist?. Der wohl einfachste Gedanke hierzu, nämlich, dass sich auch für unendlich viele Koordinaten in einem System ( was GRaph Sinus ja letztlich auch ist...) immer ein Polynom finden lassen muss (siehe lineares LGS ...+ die Voraussetzung unterschiedlicher X-Koordinaten) ist wohl doch noch etwas wage und vll auch nur bedingt richtig. Ich habe auch einen anderen Ansatz nachvollzogen bei dem mit der Ungleichung x>sin(x) angefangen wird und diese dann fortlaufend integriert( mit den Grenzen 0 und x) und so umgeformt wird dass immer die trig Funktion in Relation zum Polynom steht dass sich dann wie zu erwarten für sin und cos entwickelt. Aber auch hier bleibt für mich die Frage offen warum es funktioniert...Basierend auf dem zweiten Ansatz habe ich mir überlegt ob man es sich visuell vll so vorstellen könnte dass der sich im Ursprung ( bei sin (x) und x) extrem gut genäherte Bereich ( bis auf einen Punkt der tatsächlich stimmt..) beim mehrfachen integrieren eben am besten " fortpflanzt" da er sich eben auf jeden Integralwert sumiert während die weiter vorn liegenden und eben schlechter genäherten Werte auch auf weniger Werte aufsumiert werden ( vorallem eben nicht auf die am Anfang) wodurch dann der wieder stärker gewichtete Bereich am Anfang des nächsten Integrations Prozesses von den gut genäherten Werten der vorherigen Runde am stärksten beeinflusst wurde...vielleicht ist dass aber auch nur absouter Quatsch und ich dreh langsam durch... Jedenfalls hoffe ich sehr dass mir hier irgendwer helfen kann und bedanke mich schonmal bei jedem im Voraus.
2 Antworten
Ist für Dich denn die Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion e^x besser nachvollziehbar? Dann nimm doch das als Ausgangspunkt und geh ins Komplexe über mit e^ix. Die Taylor-Entwicklung davon zerfällt dann schön in einen reellen Cosinus-Teil und einen imaginären Sinus-Teil, wobei sich die Polynom-Beiträge jeweils abwechseln. Dann wirft man den Imaginärteil weg und schon hat sich Dir die Taylor-Entwicklung des Cosinus erschlossen.
Ich versteh dein Problem nicht wirklich. Wenn ich das richtig versteh stört dich die Annahme das man jede Funktion als Polynom darstellen kann. Aber mit dem Beweis der Taylorreihenentwicklung wird diese Annahme ja eben bewiesen?
Man kann auf keinen Fall jede Funktion in jedem Punkt durch ein Polynom darstellen (nicht mal durch eine Potenzreihe, das sind praktisch unendlich lange Polynom). Funktionen, die diese Eigenschaft haben, werden analytische Funktionen genannt.
Man denkt sich die Entwicklung ja nicht einfach im Kopf durch rumprobieren aus, sondern leitet sie komplett mathematisch her. Und diese Herleitung beweist automatisch das es für jede x beliebige differenzierbare Funktion möglich ist sie als unendliches Polynom darzustellen. Ich schick dir die Herleitung gleich als neue Antwort.
Warum ich, wenn ich die Taylorreihenentwicklung nur ausreichend fortsetze wieder auf meine eigentliche Funktion stoße,also jene die ich am Anfang nur angenähert habe, ist für mich nur im Falle von Funktionen nachvollziehbar bei denen klar ist dass sie sich als Polynom darstellen lassen.Und diese Grundannahme kann ich beim Sinus eben nicht vollkommen verstehen bzw nicht verstehen warum man sich da so sicher sein kann...