Warum ist x • x nie negativ?
6 Antworten
Solange es sich im reale Zahlen handelt, wird dabei auch immer das Vorzeichen multipliziert, und sowohl Minus mal Minus als auch Plus mal Plus ergibt Plus.
Bei imaginären bzw komplexen Zahlen kann x * x auch negativ sein.
Beispiel: i² = -1
Die komplexen Zahlen bilden keinen angeordneten Koerper. Es gilt zwar i*i=-1 und in den reellen Zahlen gilt -1<0, aber in den komplexen Zahlen existiert kein "<". Allgemeiner kann man sagen, dass Quadrate in keinem angeordneten Koerper negativ sein koennen (vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Geordneter_K%C3%B6rper).
Die Rechenregel "Minus man Minus gibt Plus" laesst sich ganz allgemein in allen Koerpern herleiten (vgl. dazu den leicht vereinfachten Beitrag https://www.gutefrage.net/frage/multiplikation-von-summen-und-differenz#answer-275580597). Die Eigenschaften von Ordnungsrelationen garantieren dann, dass Quadrate niemals negativ sein koennen (sofern es das Konzept negativer Zaheln ueberhaupt gibt).
Bei komplexen Zahlen kann x•x negativ sein!
Bei reellen Zahlen NIE, weil das Produkt von 2 positiven reellen Zahlen und das Produkt von 2 negativen reellen Zahlen IMMER positiv ist, oder Null.
Warum schreibst du mir das?
Ich hab Mathematik studiert. Deine neunmalklugen Belehrungen, die gar keinen Bezug zu meiner Antwort haben, sind völlig überflüssig!
Weil man nicht von negativen Zahlen sprechen kann, wenn es keine Ordnung gibt. Deine Aussage
Bei komplexen Zahlen kann x•x negativ sein!
ergibt daher keinen Sinn - ob Du Mathematik studiert hast oder nicht. Mein Hinweis bezieht sich direkt auf Deine Antwort und soll moeglicher Verwirrung vorbeugen. Wenn es positive und negative Zahlen gibt, dann sind Quadrate niemals negativ. Die komplexen Zahlen sind dafuer nunmal kein Gegenbeispiel.
"Bei komplexen Zahlen kann x•x negativ sein!" Das macht sehr wohl Sinn! Weil bei dem Produkt von 2 komplexen Zahlen eine negative REELLE Zahl rauskommen KANN.
Ich hab NICHTS von "negativen komplexen" Zahlen geschrieben! Das wäre ja sinnlos ;-)
Die Frage ist also, ob man komplexe Zahlen mit Imaginaerteil 0 als reelle Zahl auffassen und diese Teilmenge dann die Ordnung von R erben lassen will, ich verstehe...
Finde ich recht gewoehnungsbeduerftig, da man der Eindeutigkeit wegen ja an die (stillschweigend vorgenommene) Einbettung ganz bestimmte Forderungen stellen muesste: Warum ist x -> (x,0) die "richtige" Einbettung und x -> (-x,0) nicht? Ich sehe, wie man auf die Idee kommt, auch die komplexe -1 = (-1,0) als "negativ" zu bezeichnen, finde sie aber trotzdem irritierend :)
"x" steht für eine zahl. Diese zahl wird bei jeden "x" eingesetzt.
Die Zahl die du für X einsetzt kann entweder positiv oder negativ sein.
Wie du weißt, ergibt
negativ * negativ immer positiv und positiv * positiv auch positiv.
Daher kann es nur sein, dass dort ein positives Ergebnis rauskommt
(Achtung: Geht nur bei realen Zahlen!)
Weil beides die gleiche zahl sein muss. Wenn x das vorzeiche + hat ----> + mal + ist positiv
Wenn x das vorzeichen - hat --------> - mal - ist auch positiv
Weil Minus mal Minus Plus ergibt.
Und wenn x negativ wäre, dann wäre ein Minus vor dem X. Und mit x*x hätte man dann minus mal minus.
Wobei das genau genommen nur in der Schulmathematik stimmt. Bei komplexen Zahlen gibt es das schon, das x*x positiv ist. Das ist für Dich aber nicht relevant.
Die komplexen Zahlen bilden keinen angeordneten Koerper. Es gilt zwar i*i=-1 und in den reellen Zahlen gilt -1<0, aber in den komplexen Zahlen existiert kein "<". Allgemeiner kann man sagen, dass Quadrate in keinem angeordneten Koerper negativ sein koennen (vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Geordneter_K%C3%B6rper).
Die Rechenregel "Minus man Minus gibt Plus" laesst sich ganz allgemein in allen Koerpern herleiten (vgl. dazu den leicht vereinfachten Beitrag https://www.gutefrage.net/frage/multiplikation-von-summen-und-differenz#answer-275580597). Die Eigenschaften von Ordnungsrelationen garantieren dann, dass Quadrate niemals negativ sein koennen (sofern es das Konzept negativer Zaheln ueberhaupt gibt).
Die komplexen Zahlen bilden keinen angeordneten Koerper. Es gilt zwar i*i=-1 und in den reellen Zahlen gilt -1<0, aber in den komplexen Zahlen existiert kein "<". Allgemeiner kann man sagen, dass Quadrate in keinem angeordneten Koerper negativ sein koennen (vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Geordneter_K%C3%B6rper).
Die Rechenregel "Minus man Minus gibt Plus" laesst sich ganz allgemein in allen Koerpern herleiten (vgl. dazu den leicht vereinfachten Beitrag https://www.gutefrage.net/frage/multiplikation-von-summen-und-differenz#answer-275580597). Die Eigenschaften von Ordnungsrelationen garantieren dann, dass Quadrate niemals negativ sein koennen (sofern es das Konzept negativer Zaheln ueberhaupt gibt).