Warum ist die Definition von e^x so, wie sie ist?

Hallo,

Ich bin gerade dabei die Zahl e zu verstehen. Bis jetzt bin ich bis zu diesem Punkt gekommen:

Nun möchte ich aber noch verstehen, warum folgendes gillt:

Die 1 ist durch diesen Schritt entstanden:

Warum kann man die 1 einfach durch ein x ersetzen?

Comments

[PhotonX]

Durch welchen Schritt denn? Ich glaube, da fehlt was in der Fragestellung. ;)

[LuisBuzZ]

Jap die Bilder wurden nicht mit hochgeladen

Answer 1

[PeterKremsner]

Formal ist das leicht vorstellbar

$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{^{n\cdot x}}$ jetzt sagen wir n*x = m

$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{m}\right)^{^m}$ im wesentlichen können wir jetzt sagen wenn n nach unendlich geht dann auch m womit wir das n im Limes durch das m ersetzen können und dann steht genau deine Formel hier.

Das ist allerdings eine unsaubere Variante besser lässt es sich über die Potenzreihe von e^x und der Reihendarstellung von e zeigen. Wobei ich mir nicht sicher ob die Reihendarstellung von e nicht erst durch die Potenzreihe von e^x entdeckt wurde. Grundsätzlich können aber auch beide Darstellungen aus der selben Grundüberlegung gewonnen werden wenn man sich die Darstellung von e einfach als e^x mit x = 1 denkt und erkennt dass der Zähler des Bruches 1/n eben genau aus diesem x = 1 daher kommt.

Answer 2

[michiwien22]

Liegt das nicht einfach daran, dass

$\left(1+\epsilon\right)^x\ \approx1+\epsilon\cdot x$ ist, wenn ε sehr klein ist?

Damit liegt die Aussage auf der Hand, wenn auch nicht mit mathematischer Strenge, sondern nur intuitiv "klar".