Warum ist das Tempo eines Planeten im Perihel am größten?
Hi. Alle Planeten drehen sich in unserem Sonnensystem ja um die Sonne, aber warum bewegt sich ein Planet schneller im Perihel als im Aphel?
3 Antworten
…warum bewegt sich ein Planet schneller im Perihel als im Aphel?
Weil die potentielle Energie
(1) E_(pot) = –G·M·m/r
(G Gravitationskonstante, M Masse des Sterns und m Masse des Planeten, r Entfernung zwischen den Schwerpunkten) des Planeten im Gravitationsfeld des Sterns dort am kleinsen ist, muss dafür die kinetische Energie
(2) E_(kin) = ½·m·‹v|v› = ½·m·(ṙ² + r²φ̇²)
(im Newton-Limes v≪c, r≫2GM/rc²) mit der Bahngeschwindigkeit |v› und entsprechend größer sein, denn die Summe bleibt konstant. Mit ṙ ist die radiale und mit φ̇ die Winkelgeschwindigkeit gemeint.
Eine Größe, die ebenfalls erhalten ist, ist der Drehimpuls
(3.1) |L› = |r›×|p› = m·r²·φ̇·|e_z›,
und |e_z› ist ein Einheitsvektor in Richtung senkrecht zur Rotationsebene des Planeten, die ich als x-y-Ebene gwählt habe.
Da der Drehimpuls in diesem Koordinatensystem nur eine Komponente hat, kann man auch einfach
(3.2) L = m·r²·φ̇
schreiben, und damit ist
(3.3) L² = m²·r⁴·φ̇²,
sodass man die Rotationsenergie als
(4) E_(rot) = ½·m·r²·φ̇² = L²/(2mr²)
schreiben kann, sodass mit r nur noch eine nicht konstante Größe übrig ist. Man kann E_(rot)/m auch als Zentrifugalpotential bezeichnen, denn sie hängt wie das Gravitationspotential E_(pot)/m von r ab und wirkt wie ein repulsives (abstoßendes) Potential (deshalb auch Zentrifugalbarriere), das zuammen mit dem Gravitationspotential ein effektives Potential
(https://de.wikipedia.org/wiki/Effektives_Potential)
bildet, das ein Minimum hat - in diesem Abstand verlaufen Kreisbahnen.
Alles, was bei gleichem Drehimpuls mehr Energie hat als das Minimum, aber weniger als 0, bewegt sich auf elliptischen Bahnen mit Perihel und Aphel, wo ṙ=0 ist und die Geschwindigkeit komplett durch r·φ̇ gegeben.
Ungebundene ZuständeWas eine Energie von genau 0 hat, besitzt ein Perihel, aber kein Aphel mehr. Die Bahn ist eine Parabel, und sein Tempo fällt beliebig gegen 0, wenn sich der Körper entfernt.
Was eine größere Energie als 0 hat, hat ebenfalls ein Perihel, aber kein Aphel. Seine Bahn ist ein Hyperbelast, und sein Tempo fällt bei großen Entfernungen gegen einen von 0 verschiedenen konstanten Wert. Mit wachsender Energie öffnet sich der Hyperbelast mehr und mehr, d.h. der Winkel zwischen den Asymptoten der Hyperbel wird immer größer. Selbst im Extremfall wird allerdings keine Gerade daraus, sondern es bleibt eine Hyperbel, selbst bei einem Lichtsignal.
Es gibt, wie mir gerade auffällt, noch einen zweiten Grund dafür, neben der Energie- auch die Drehimpulserhaltung.
Die ist äquivalent zu KEPLERs 2. Gesetz:
Der Fahrstrahl (lat: radius vector) von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
Ein winziges Stück Bahn, ds, lässt sich in zwei zueinander rechtwinklige Anteile dr und rdφ zerlegen, wobei dr der radiale Anteil (von der Sonne weg oder zu ihr hin) ist und zur Fläche nicht beiträgt. Die ist praktisch r·rdφ=r²dφ, also je größer r, desto kleiner dφ und umgekehrt.
Es gibt auch Bilder dazu:
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/physik/artikel/keplersche-gesetze
Stimmt auffallend. Das, was Du geschrieben hast, hätte ich am besten als Kurzantwort an den Anfang geschrieben, den Rest als Lang-Antwort hinterher.
Je näher er am umlaufenden Körper dranne ist desto schneller muss der planet oder Mond etc. Sich bewegen.
Deswegen ist die Geschwindigkeit grösser.
Das liegt an den gravitationsgesetzen. Wäre die Geschwindigkeit geringer würde der planet nicht diese Umlauf Bahn haben. Sondern eine andere oder halt mit dem umlaufenden Körper Zusammenstossen.
Deswegen bewegt sich die ISS auch viel schneller um die Erde als der Mond. Z.b.
Das ist so, weil der Planet bei jedem Umlauf auf seiner Bahnellipse potentielle und kinetische Energie gegeneinander tauscht. Im Aphel ist die Entfernung zur Sonne und damit die potentielle Energie am größten. Dafür ist dort die kinetische Energie am kleinsten. Im Perihel ist es umgekehrt. Die Summe der beiden Energieanteile bleibt dabei stets gleich (Prinzip der Energieerhaltung).
Man könnte es sicher noch komplizierter erklären.
Es geht auch einfacher:
Wenn der Planet sich vom Aphel der Sonne wieder nähert, fällt er gewissermaßen auf die Sonne zu und gewinnt an Geschwindigkeit.