Warum ist (a+b)² nicht das gleiche wie a²+b²?
Könnte mir das bitte jemand erklären?
5 Antworten
Multipliziere das doch einfach aus:
(Und die beiden Terme in der Mitte fast man dann zu 2ab zusammen)
Das kann man auch schön geometrisch zeigen:
https://www.convictorius.de/wp-content/uploads/2013/12/binomische-Formel-1-2-3-als-Bild.png
a² + b² wäre nur das blaue und das rote Quadrat.
(a + b)² entspricht hingegen der Fläche der gesamten Figur, und da sind die beiden grünen Rechtecke (2ab) auch dabei.
Daher ist (a + b)² eben nicht gleich a² + b², sondern gleich a² + 2ab + b².
Ein simples Gegenbeispiel reicht aus:
1^2+1^2=2≠4=(1+1)^2
Die beiden Terme sind NUR gleich, wenn a oder b gleich 0 sind, sonst sind sie ungleich.
Zeichne das doch einfach mal auf. Zunächst ein Quadrat mit Seitenlänge a. Dann erweitere das zu einem Quadrat mit Seitenlänge (a+b).
1) Wo ist in diesem größeren Quadrat b²?
2) Fällt dir noch etwas auf?
Wenn man (a+b)² berechnet, wendet man die sogenannte binomische Formel an, die besagt, dass (a+b)² = a² + 2ab + b². Die binomische Formel lässt sich auf verschiedene Weise herleiten, zum Beispiel indem man die Klammer auf (a+b)(a+b) ausmultipliziert.
(a+b)(a+b) = aa + ab + ba + bb
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²
Man sieht, dass (a+b)(a+b) = a² + 2ab + b² ist, was gleichbedeutend mit (a+b)² ist.
Im Gegensatz dazu ist a²+b² einfach die Summe der Quadrate von a und b. Diese Formel trifft zu, wenn man die Quadrate von a und b addiert, ohne sie miteinander zu multiplizieren.
Um das Ganze noch einmal zusammenzufassen: (a+b)² ist ungleich a²+b², weil (a+b)² = a² + 2ab + b² ist, während a²+b² einfach die Summe der Quadrate von a und b darstellt.
Ob der TE das versteht? :-)