Warum heißt es NATÜRLICHE Exponentialfunktion?
Ich würde gerne wissen, warum es "natürliche" Exponentialfunktion heißt.
MFG
3 Antworten
Betrachtet man die Exponentialfunktionen f(x) = a^x zu verschiedenen Basen a, stellt man fest, dass sie sich gar nicht so sehr voneinander unterscheiden. Zu Basen a und b gibt es naemlich stets eine Konstante s, sodass a^x = b^(s x). Bis auf eine Skalierung des Arguments x (eben die Multiplikation mit einer Konstanten) sind die verschiedenen Exponentialfunktionen also gleich.
Insofern kann man sich eine "Lieblingsbasis" aussuchen und mit dieser arbeiten.
Wenn man Analysis betreibt, kommt man recht schnell auf das Konzept der Ableitung einer Funktion. Dieses ist sehr wichtig, um zu verstehen, wie sich Funktionen (lokal) veraendern und kommt in vielen Anwendungen vor.
Man stellt fest, dass Exponentialfunktionen der Form f(x) = a^x proportional zu ihrer eigenen Ableitung sind, d.h. es gilt f'(x) = Konstante * f(x). Man fragt sich nun, ob es vielleicht eine Basis a gibt, sodass diese Konstante 1 ist. Die Euler'sche Zahl e hat genau diese Eigenschaft. Fuer f(x) = e^x gilt genau f'(x) = e^x.
In Bezug auf die Differentialrechnung ist die Wahl der Basis e also eine natuerliche Wahl, da sie das Berechnen der Ableitung sehr einfach macht.
e ist die Zahl des natürlichen Wachstums.
e^x ist die exponentielle Funktion dazu.
ln ist die Umkehrfunktion (natürlicher Logarithmus).
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/eulersche-zahl
Ich würde es als Gegenstück des natürlichen Logarithmus sehen. Also das bedeute die natürliche Potenzfunktion ist:
f(x)=a * e^x
e ist die Eulersche Zahl (2,7....)