warum größer/kleiner bei Antisymmetrie?
Wenn es um Antisymmetrie von Relationen geht, warum sagen wir nicht einfach "Wenn A = B und B = A" dann handelt es sich um dasselbe Element und was ist dann der Unterschied zu Reflexivität? Und wenn A < B und B < A ausreicht um Antisymmetrie geltend zu machen, was ist dann überhaupt Gleichheit in der Mathematik?
1 Antwort
Antisymmetrie heißt: Wenn a ≤ b und b ≤ a gilt, dann ist a = b.
Beispiel 1: Auf einem System von Mengen könnten wir definieren, dass A ≤ B genau dann gilt, wenn A eine Teilmenge von B ist. Diese Relation ist antisymmetrisch, denn wenn A eine Teilmenge von B und B eine Teilmenge von A ist, dann gilt A = B per Definition.
Beispiel 2: Auf den natürlichen Zahlen könnte ich definieren dass n ≤ m genau dann gilt, wenn n ein Teiler von m ist. Auch diese Relation ist antisymmetrisch: Wenn n ein Teiler von m ist, ist m = k * n für irgendeine natürliche Zahl k.
Wenn zusätzlich m ein Teiler von n ist, gilt n = k' * m für irgendeine natürliche Zahl k'.
Damit ist aber m = k * (k' * m),
also k * k' = 1,
also k = k' = 1 (anders geht k * k' = 1 in den natürlichen Zahlen nicht),
also m = k * n = 1 * n = n.
Beispiel 3: Auf der Menge der deutschen Wörter könnte ich w ≤ w' definieren, wenn w' mindestens so viele Buchstaben besitzt wie w.
Dann wäre zum Beispiel "Welt" ≤ "Hallo", weil "Welt" weniger Buchstaben hat.
Diese Relation ist nicht antisymmetrisch, denn:
Es gilt "kurz" ≤ "lang" und "lang" ≤ "kurz" (warum?), aber die beiden Worte sind nicht identisch.