Warum braucht man für die Hess'sche Normalform den Normaleneinheitsvektor unf nicht nur den Normalenvektor (z.B. für die Abstandberechnungen)?
2 Antworten
Ich denke Mal, es ist am besten, wenn du versuchst die Herleitung der Form (sowie woean damit die Distanz berechnet) nachzuvollziehen:
Sei a ein Punkt der Ebene und n der Normalenvektor der Ebene.
Dann kannst du die Ebee eindeutig festlegen durch die Menge der Punkte x, die (x-a)*n=0 erfüllen. (* Steht hier für das Skalarprodukt).
Das ist dann die Normalenform.
Die hessische Normalenform erhälst du dann, wenn du statt n nun n_0 nimmst, also den Normierten Normalenvektor, bzw den Normaleneinheitsvektor.
Damit kannst du nun die Distanz eines beliebigen Punktes x zu der Ebene bestimmen.
Das -a sorgt nämlich dazu, dass das Koordinatensystem so verschoben wird, sodass die Ebene durch den Ursprung geht. Du bestimmst nun also die Distanz von Punkt x-a (den wir nun als y bezeichnen) zu der Ebene, die Durch den Ursprung geht, und orthogonal zu n_0 ist.
Wir stellen nun für das Verschobene Koordinatensystem eine neue Basis auf. Wir wählen dazu Vektoren u und v, sodass u, v und n_0 paarweise Orthogonal sind. Die Drei Vektoren spannen dann den R^3 auf (man kann also jeden Vektor vom R^3 als Linearkombination der drei Vektoren schreiben).
Da u und v orthogonal zu n_0 sind, sind u und v Richtungsvektoren der Ebene.
Wir können nun den Punkt y als Linearkombination der drei Vektoren schreiben:
y= d*u + e*v + f*n_0
d, e, und f sind dabei reelle Zahlen.
Nun eine Überlegung:
Wenn du d und e veränderst, ändert sich die Distanz zwischen y und der Ebene nicht, da du den Punkt y parallel zur Ebene Verschiebst. Das einzig relevante ist somit nur der Parameter f. Und da n_0 die Länge 1 hat, ist die Distanz zwischen der Ebene und dem Punkt somit |f|.
Und wie erhalten wir f? Ganz einfach: wir berechnen das Skalarprodukt von n_0 und y:
y*n_0 = d*u*n_0 + e*v*n_0 + f*n_0*n_0
Da u, v und n_0 paarweise Orthogonal sind, sind die ersten beiden Summanden 0. Der letzte Summand hat den Wert f, da n_0 die Länge 1 hat.
Somit ist y*n_0 = f.
Wir erhalten somit, dass die Distanz zwischen einem Punkt x und einer Ebene gleich |(x-a)*n_0| ist, wobei a der Aufpunkt und n_0 der normierte Normalenvektor.
Wenn du statt n_0 einen beliebigen Normalenvektor nimmst, verändert sich der ganze Ausdruck um einen Faktor (und zwar um die länge von dem Normalenvektor). Du musst also danach durch die länge Teilen, wenn du die Tatsächliche Distanz haben willst. Deswegen wird bei der Hessischen Normalenform direkt der Einheitsnormalenvektor genommen, damit dieser Schritt austomatisch drin ist.
Weil das die Definition der Hess'schen Normalform ist? Du kannst auch mit den anderen Formen den Abstand berechnen. Hast du nur den Normalenvektor, ist es eben die Normalenform.