Kann mir einer erklären woher ich weiß was der normalenvektor einer Ebene oder Achse ist?
Zum Beispiel der normalenvektor der x3 Ebene oder der normalenvektor der x1x2 Ebene unsw versteh das nicht
1 Antwort
Berechne das Skalarprodukt zwischen dem gegebenen (noch nachzuweisenden) Normalenvektor und zwei linear unabhängigen Vektoren der Ebene - wenn das Ergebnis für beide Skalarpodukte null ist, ist es tatsächlich ein Normalenvektor, sonst nicht. Ansonsten kannst du auch schauen, ob ein (schon nachgewiesener) Normalenvektor der Ebene parallel zu den zu untersuchenden ist - wenn ja, sind auch die normal zur Ebene, sonst nicht.
1. Beispiel:
Überprüfe ob (1, 2, 0), (0, 0, 4) und/oder (0, 2, 1) Normalenvektoren der x1x2-Ebene sind.
Zuerst brauchen wir zwei linear unabhängige Vektoren der Ebene. Da es die x1x2-Ebene ist, bieten sich (1, 0, 0) und (0, 1, 0) an.
Nun berechnen wir die Skalarprodukte dieser beiden Vektoren mit jeweils einem der angegebenen - noch nicht bestätigten - Normalenvektoren.
Für den ersten Vektor (1, 2, 0) erhalten wir (1, 2, 0) • (1, 0, 0) = 1 ≠ 0. Hier können wir schon aufhören. Denn wenn (1, 2, 0) ein Normalenvektor zur x1x2-Ebene wäre, müsste er zum Vektor (1, 0, 0) senkrecht stehen - das Skalarprodukt müsste also null sein -, was nicht der Fall ist. Daher ist er kein Normalenvektor der Ebene.
Für den zweiten Vektor erhalten wir (0, 0, 4) • (1, 0, 0) = 0 = (0, 0, 4) • (0, 1, 0). Also ist (0, 0, 4) ein Normalenvektor der Ebene.
Für den dritten Vektor (0, 2, 1) erhalten wir zwar (0, 2, 1) • (1, 0, 0) = 0, aber (0, 2, 1) • (0, 1, 0) = 2 ≠ 0. Also ist er kein Normalenvektor - für beide Rechnungen hätte null rauskommen müssen.
2. Beispiel
Zu überprüfen ist, ob (–1, 0, 7) und/oder (0, 1, –4) Normalenvektoren der Ebene E sind mit
E = (1, 0, 2) + r (2, 4, 1) + s (–5, 0, 0).
Dass die Ebene nicht durch den Ursprung geht, macht natürlich nichts. Wir müssen nur schauen, ob die beiden angegebenen Richtungsvektoren der Ebene tatsächlich senkrecht zu den angegebenen - nocht nicht bestätigten - Normalenvektoren sind.
Für den ersten Vektor erhalten wir (–1, 0, 7) • (2, 4, 1) = 5 ≠ 0. Der Vektor (–1, 0, 7) kann also kein Normalenvektor der Ebene E sein.
Für den zweiten erhalten wir (0, 1, –4) • (2, 4, 1) = 0 und (0, 1, –4) • (–5, 0, 0) = 0. Also ist (0, 1, –4) ein Normalenvektor zu E.
3. Beispiel
Wenn du nun noch überprüfen sollst, ob der Vektor (0, –2, 8) ein Normalenvektor von der Ebene E aus Beispiel 2 ist, kannst du ausnutzen, dass du weißt, dass (0, 1, –4) ein Normalenvektor von E ist.
Alle anderen Normalenvektoren müssen also parallel zu (0, 1, –4) sein. Ist das der Fall?
Ja, denn –2 (0, 1, –4) = (0, –2, 8). Also ist auch (0, –2, 8) ein Normalenvektor.
Das sollte dich auf folgende Idee bringen.
Hast du eine Ebene in Parameterform gegeben, kannst du einen Normalenvektor immer mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnen. Sollst du nun überprüfen, ob ein Vektor normal zur Ebene ist, musst du nur schauen, ob er parallel zum berechneten Kreuzprodukt ist. Hier ein Beispiel mit der Ebene aus Beispiel 2:
Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist
(2, 4, 1) × (–5, 0, 0) = (0, –5, 20).
Da es für die Vektoren (0, –2, 8) und (0, 1, –4) eine Zahlen k und c gibt, sodass
k (0, –5, 20) = (0, –2, 8) <=> k = 2/5,
c (0, –5, 20) = (0, 1, –4) <=> c = –1/5,
also die beiden Vektoren parallel zum Kreuzprodukt (0, –5, 20) sind, sind auch diese beiden Normalenvektoren von E.