Wann ist ein LGS eindeutig lösbar?
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/TBDRM/1655402433211_nmmslarge__0_666_1080_1080_f7eefb8f128db0f4b803b786d906b453.jpg?v=1655402433000)
Ist es im Allgemeinen nicht.
Ein LGS ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die keine (lineare) Gleichung eine Folgegleichung der anderen ist - also ein Vielfaches einer anderen Gleichung oder die Summe (mehrer Vielfacher von) Gleichungen.
Wenn eine Gleichung durch Linearkombination zweier anderer Gleichungen hervorgeht, gibt es also - wenn es gleich viele Gleichungen wie Unbekannte gibt - keine eindeutige Lösung.
Mit der Information, dass man LGS auch als Matrizenprodukte schreiben kann, gilt das Kriterium: Ein LGS ist genau dann lösbar, wenn der Rang Koeffizientenmatrix nicht größer als der der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Für den Fall, dass beide Ränge gleich sind, ist es eindeutig lösbar.
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Wenn die aus den Koeffizienten des linearen Gleichungssystem gebildete Determinante ungleich Null ist, dann hat das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Schachpapa/1456653634658_nmmslarge__116_32_432_432_d36a6a6d62721271685e85017f4dbcb0.jpg?v=1456653637000)
Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl der Nichtnullzeilen der Matrix in Zeilenstufenform.
Es gibt eine eindeutige Lösung, wenn der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix der Anzahl der Variablen entspricht.