Wann halbiert sich ein Bestand bei einer vierteljährlichen Abnahme von 2.5%?
Also ich weiß bisher das: 2 = 0.975^t Aber jetzt komme ich nicht bei " vierteljährlich " weiter ^^. DANKE! :)
4 Antworten
Ob jährlich oder vierteljährlich ist doch im Vorwege völlig gleichgültig.
Da 1/2 = 1 * 0,975ⁿ und n die Anzahl der Zeitperioden ist, kann man erst nach der Rechnung definieren, was man haben will.
Wegen n log 0,975 = log 0,5
n = log 0,5 / (log 0,975)
n = 28 Perioden (gerundet)
bekommst du die Menge der Zeitperioden genau in der Art, wie du ihre Länge vorgibst.
Wenn es um 2,5% pro Jahr geht, dann sind es 28 Jahre,
wenn es um 2,5% je Vierteljahr geht, dann eben 28/4 Jahre = 7 Jahre.
Die Probe ist am Beispiel 100 g:
100 * 0,975²⁷ = 50,48 Das ist rund die Hälfte.
die allgemeine Funktion lautet: f(t)=a * q^(k * t)
a ist der Startwert, also hier a=1 (=100%). q ist der "Wachstumsfaktor", also richtigerweise q=0,975 (=100%-2,5%). k ist sozusagen die Zeitperiode. t ist die Zeit (hier z. B. in Monaten). Da erst nach 3 Monaten, also t=3, die erste Abnahme greift, muss k=1/3 sein, denn 1/3 * 3 = 1, somit ist der Bestand nach den ersten 3 Monaten f(3)=a * q^(1/3 * 3) = 1 * 0,975^1
Die Funktion lautet also f(t)=0,975^(t/3)
Jetzt musst Du f(t)=1/2 setzen und nach t umformen...
0,5=0,975^(t/3) |ln
ln(0,5)=t/3 * ln(0,975) |* 3 : ln(0,975)
t=3 * ln(0,5)/ln(0,975)
t=82,13
Also nach ca. 82 Monaten ist der Bestand halbiert.
das mit dem k muss man sich halt irgendwie klarmachen; kann es grad leider nicht besser rüberbringen (die Hitze hat mein Hirn wohl was weichgekocht :) )
Wenn Du mit t in Jahren rechnen möchtest; musst Du entsprechend k=4 setzen, also f(t)=0,975^(4t) mit t in Jahren.
Nach 1/4 Jahr greift die erste Abnahme, also:
f(1/4)=0,975^(4 * 1/4)=0,975
Du musst also immer überlegen, was k sein muss, damit der Exponent zum ersten Zuwachs-/Abnahmezeitpunkt 1 ergibt...
Rechnest Du jetzt t aus, dann kommt logischerweise ca. 6,84 raus, also der Bestand ist nach ca. 7 Jahren halbiert.
5 Jahre.
1/4 jahr = 2,5%
Gefragt ist die zeit wann der bestand halbiert ist, also 50%.
50%/2,5% = 20
Da die abnahme vierteljährlich ist, also alle 3 Monate rechnet man 20*3 = 60
Ergebnis 60 Monate. 60/12 (weil das jahr 12 monate hat) = 5 jahre.
Ergo, der Bestand halbiert sich nach 5 Jahren.
ja hab auch gemerkt das da was nicht stimmt aber @Volens, 20*3 würde schon stimmen. da es nicht 20 jahre sondern laut der rechnung 20 1/4 jahre. und da 1/4 jahr 3 monate hat mal 3 :)
Gut und schlüssig erklärt - ist aber ein Topfen!
Wie es richtig funktioniert: siehe Antwort von Rhenane.
Selbst wenn die Zeit 20 Jahre wäre, dann wären dies 20 * 4 Vierteljahre und nicht 20 * 3.
Ich habe zwar null Ahnung aber bei einem Viertel würde ich 0,975:4 machen
Du darfst zwar bei einer Exponentialfunktion dieser Art den Exponenten durch 4 dividieren, aber niemals die Basis.
Echt krass, Danke ^^