Wann dritte und vierte Ableitung=0?
In welchen Fällen sind die dritte und vierte Ableitung einer Funktion gleich Null? Es geht hierbei um Wendepunkte. Den Begriff Flachpunkt hatte ich mal flüchtig gelesen, aber noch nicht ganz verstanden...
3 Antworten
Die Antwort von ehrlijon verstehe ich so, dass er Punkte mit waagerechter Tangente beschreibt.
Ich habe den Begriff Flachpunkte aus meiner Schulzeit in Erinnerung. Da ging es um potentielle Wendepunkte, also um Punkte, in denen der Graph einer Funktion keine Krümmung besitzt. Hierzu muss gelten: f´´(x0) = 0.
Wenn ein Graph in einem solchen Punkt seine Krümmung ändert, haben wir einen Wendepunkt. Ein übliches Kriterium ist der Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an einer solchen Stelle.
Wenn aber kein Vorzeichenwechsel von f´´ stattfindet, hat der Graph links und rechts von der Stelle x0 dieselbe Art von Krümmung (Rechts- oder Linkskrümmung). Dann haben wir es mit einem Flachpunkt zu tun.
Zur Veranschaulichung füge ich eine Zeichnung bei, in der ich neben dem Graphen der Funktion g auch seine Ableitung habe zeichnen lassen. g´ hat dann bei x0 einen Sattelpunkt.
Sobald eine quadratische Funktion als Stammfunktion vorliegt.
Flachpunkt könnte Wendepunkt oder Extrempunkt sein.
Die Ableitung einer Funktion f(x) gleich Null ist Bedingung für Flachpunkt.
- f´(x) = 0 ... Ich bestimme Flachpunkte (s).
- f´´(x) ... Welche Flachpunkte sind Extrempunkte (Verdacht auf Extrema) f´´(s) > 0, dann MIN f´´(s) < 0, dann MAX Wenn 2. Ableitung gleich Null ist (f´´(x) = 0), dann 3. Ableitung berechnen.
- f´´´(x):1. f´´´(s) ≠ 0 -> Wendepunkt
2. f´´´(s) = 0 -> 4. Ableitung
- f´´´´(s):1. f´´´(s) ≠ 0 -> Extremum
2. f´´´(s) = 0 -> 5. Ableitung - usw.Wenn n. Ableitung der f(x) gleich Null ist (f°(s) = 0): 1. kein Extremum oder 2. (n+1). Ableitung der f(x) berechnen