Wandle die Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform um?
Aufgabenstellung: Wandle die Funktionsgleichung in die scheitelpunktform um. a) y=x²+8x+16
Wie mache ich das? Bitte um schnelle und genaue Antwort mit erklärten Rechenschritten. Vieleeeeen Dank im Voraus! :)
3 Antworten
Hallo,
da Du hier ein glasklares Binom hast, wandelst Du den Term einfach in (x+4)² um, dann hast Du den Scheitelpunkt bei (-4|0).
Wenn Du das Binom nicht erkennst, mußt Du nach der herkömmlichen Methode arbeiten:
x²+8x+16. Du nimmst die Zahl, die vor dem x steht, also 8, halbierst sie: 4 und quadrierst sie: 16.
Nun schreibst Du x²+8x+16-16+16.
Die ersten drei Glieder sind bei dieser Methode (quadratische Ergänzung) 100 %ig ein Binom, das sich in (x+4)² umwandeln läßt. Die 4 ist die Hälfte von 8, die Zahl vor dem x. Die Ergänzung (16) mußt Du natürlich wieder abziehen; Du kannst nicht einfach einen Summanden in eine Funktion einfügen. Die dritte 16 ist da, weil sie schon vorher da stand.
So sieht die Funktion folgendermaßen aus:
(x+4)²-16+16.
Die beiden 16 heben sich auf; es bleibt (x+4)²+0, die Scheitelpunktform.
Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist die Zahl in der Klammer mit umgekehrtem Vorzeichen, die y-Komponente ist die Zahl hinter der Klammer (hier:0).
Wenn vor dem x² ein Faktor steht, mußt Du die Funktion zuerst durch diesen Faktor teilen, bevor Du mit der quadratischen Ergänzung arbeitest. Das war hier aber nicht nötig.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
nun steht vor dem x² ein Faktor, nämlich die 2.
Du klammerst diese 2 aus:
f(x)=2*(x²-x+0,25). Mit dem Term in der Klammer verfährst Du nun wie beschrieben: die Zahl vor dem x (1, wenn sonst keine da steht), erst halbieren: 0,5, dann quadrieren: 0,25 und die Funktion damit ergänzen (anschließend ziehst Du die 0,25 wieder ab).
Da hier aber bereits eine 0,25 steht, hast Du es schon mit einem Binom zu tun, Du kannst also direkt umwandeln, diesmal wegen des Minus vor dem x nach der zweiten binomischen Formel:
2*[(x-0,5)²+0]. Dann hast Du einen Scheitelpunkt bei (0,5|0).
Gruß,
Willy
Allgemeine Form der Parabel y=f(x)=a2 * x^2 + a1 *x + ao
Scheitelpunktform y= a2 * (x +b)^2 + c
Scheitelkoordinaten x= - (a1) /2 *a2 und y= - (a1)^2 / (4 *a2) +ao
Diese Formeln ergeben sich durch die allgemeine Umformung mit der quadratischen Ergänzung !!
2 ter Weg wäre,wenn du die Funktion f(x) mit der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform überführst.
x= - (8)/ 2 *1 = - 4 und y= - (8)^2 / ( 4 *1) +16 =0
Scheitelpunktform ist somit y= 1 *(x + 4)^2 + 0
Hinweis y=c und b=- x also b= -1 * -4= 4 es findet ein Vorzeichenwechsel statt.
b>0 Parabel wird nach links verschoben
b<0 nach rechts verschoben
In die 1) binomische Formel umschreiben in dem Fall
f(x)= (x+4)^2
Vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort! :) hätte da aber noch eine frage. Wie wandle ich die funktionsgleichung 2x²-2x+0,5 in die Scheitelpunktform um?