Wahrscheinlichkeitsrechnung: Faires Spiel?
in a soll überprüft werden, ob das in der Angabe beschriebene Spiel fair ist. Es gibt für Gabriele zwei Möglichkeiten zu gewinnen, sie zieht entweder beide Male eine schwarze Kugel oder beide Male eine weiße (also 2 günstige Ereignisse). Insgesamt sind aber 4 Möglich: schwarz weiß , weiß schwarz, weiß weiß, schwarz schwarz. Wenn ich die Wahrscheinlichkeit eines Gewinns berechne kommt 1/2 raus und somit würde ich argumentieren, das Spiel sei fair. Aus der Angabe in b kann man aber schließen, dass ich falsch vorgegangen bin. Kann mir jemand erklären warum ? Bin für Erklärungen dankbar.
3 Antworten
Damit man leichter rechnen kann stellen wir uns Mal vor, die Kugeln werden nacheinander gezogen.
Günstige Ereignisse sind ww und ss.
Berechnen wir Mal die Wahrscheinlichkeit für ww: die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine weiße Kugel zu ziehen ist 1/2 (zwei von vier Kugeln sind weiß).Die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste gezogene Kugel auch weiß ist, ist aber nur 1/3 (eine von drei verbleibenden Kugeln ist weiß). Istgesamt gilt also P(ww) = 1/2 * 1/3 = 1/6.
Die Wahrscheinlichkeit für ss kannst du genauso berechnen. Die Wahrscheinlichkeit dass Gabriele gewinnt, ist also P(Gabrielle gewinnt) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Das Spiel ist also nicht fair.
Für b): Füge Kugeln hinzu und berechne dann die Wahrscheinlichkeit nochmal (wie oben). Wann ist das Spiel dann fair?
Es gibt zwar die Möglichkeiten, die du auflistest, aber sie sind nicht gleich wahrscheinlich.
P(2schwarze) = 2/4 * 1/3 = 2/12= 1/6
Ebenso P(2weiße).
Die Wahrscheinlichkeit, 2 gleichfarbige Kugeln zu bekommen ist als nur 2/6 = 1/3
Ist auch verständlich: sobald die erste Kugel gezogen ist, sind noch doppelt so viel der anderen Farbe vorhanden...
(a) wurde schon beantwortet.
Bei (b) braucht man eine Lösung für
w/(w+s) (w-1)/(w+s-1) + s/(w+s) (s-1)/(w+s-1) = 1/2
mit w (weiss) und s (schwarz) geeignet.
Z.B. geht es mit s= 1 und w=3.
8w+1 muss ein Quadrat sein.