Volumenmaximierung
Hallo, Ich lerne gerade für meine Mathearbeit. Ein Thema wird Volumenmaximierung sein. Ich soll aus einer vorgeschriebenen Fläche eine Schachtel mit größt möglichem Volumen hervorbringen. Weiß jemand wie das geht? Danke :)
6 Antworten
Hallo !
Hier wird das ziemlich gut erklärt -->
28 Extremwertaufgaben 1/2 - Telekolleg Mathematik
https://www.youtube.com/watch?v=tYi-BlnqPNI
LG Spielkamerad
29 Extremwertaufgaben 2/2 - Telekolleg Mathematik
Also wenn ich mir das so vorstelle, dann fängst du bei einem Rechteck an. Dann "schneidest du an allen 4 Ecken Quadrate raus". Sagen wir mit Länge x. So kannst du dann die Wände hochklappen. Dann stellst du daraus eine Formel fürs Volumen auf in Abhängigkeit von x.
V(x)= (l-2x)(b-2x)x wobei l und b Länge und Breite des Kartonbogens sind.
Dann suchst du dort Maxima und Minima, also erste Ableitung null setzen. gefundene x einsetzen, das Grösste ist dann wohl das Maximum.
Wenn die Schachtel keinen Deckel haben soll, wird es bestimmt kein Würfel mehr sein. Wenn du schon mal Extremwertaufgaben gemacht hast, ging es da ja immer darum, eine Fläche zu basteln. Mit der Multiplikation x * f(x) oder ähnlich wurde es eine höhergradige Funktion für A (Fläche), die du dann abgeleitet hast.
Bei Körpern spielt sich alles noch einen Funktionsgrad höher ab. Du bekommst dann meist einen Körper (quadratische Säule oder so), wo das Volumen durch die Nebenbedingungen in Abhängigkeit von x gebracht wird. Dann geht's weiter wie gehabt. Ableiten und gleich Null setzen (Extrema feststellen).
Wenn Du die Aufgabe so allgemein stellst, kommt als Lösung der Würfel heraus. Die Formeln für Oberfläche und Volumen ergeben nur 2 Gleichungen für die 3 Unbekannten (Kantenlängen des Quaders). Für eine sinnvolle Extremwert-Aufgabe müsstest Du eine weitere Bedingung vorgeben, zB. dass die Grundfläche ein Rechteck mit dem Kantenverhältnis 2 : 3 ist (etwa DIN Format).
Zunächst musst erstmal die Funktion bilden, welche die Schachtel beschreibt. Im Anschluss bildest die Ableitung der Funktion und schaust wo das Maximum ist, dann hast es auch schon :).