Volumen mit Grundfläche berechnen?
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe vor mir liegen,bei der ich nicht weiterkomme und auch keine guten Erklärungen gefunden habe.
Hier die Aufgabe:
Der Würfel in Fig.1 hat die Kantenlänge 1.Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide mit der Grundfläche BDE und der Spitze G.
Was muss ich jetzt tun? Danke im Vorraus.
5 Antworten
Ohne Bild schwierig, aber ich tippe mal Du musst die Raumdiagonalen des Würfels berechnen um Maße für die Pyramide zu erhalten.
Zeige aber besser mal die Zeichnung (hier eine Antwort geben und das Bild anhängen).
Wenn die Ecken des Würfels logisch benannt sind, kann die Aufgabe auch ohne Bild gelöst werden. (meine Antwort) (;-)))
Wenn ich annehme, dass dein Würfel von 1 m³. (1 * 1 * 1) die Grundfläche der Pyramide haben soll (1 m²), dann kann ich auch annehmen, dass die Höhe der Pyramide 1 m wäre. Nun gucke ich auf die Pyramidenformel:
V = G * h /3
Ergebnis: 1/3 m³ Volumen für die Pyramide.
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Bei anderer Grundfläche entsprechend umrechnen.
Wenn die Ecken des Würfels logisch benannt sind, kann die Aufgabe auch ohne Bild gelöst werden. (meine Antwort) (;-)))
Natürlich kann sie das, obwohl sich mir nicht erschließt, wieso die Punkte B, D und E genannt werden sollten. Aber sei's drum:
G = a²/2 mit a = 1
h = 1
V = 1/2 m³
Aber das ist und bleibt so falsch. (s. Geographs richtige Antwort)
Nicht jede Figur sieht so aus, wie du es möchtest.
Eine allgemeine Pyramide muss ihre Spitze nicht zwangsläufig in der Mitte haben.
https://www.mathetreff-online.de/wissen/mathelexikon/schiefe-pyramide
Ich weiß ja nicht, wie groß fig.1 gezeichnet ist... Wenn die Skizze sehr klein ist, dann zeichne einfach einen größeren Würfel (Seitenlänge ca. 7 cm) - auch die unsichtbaren Linien (strichliert), benenne die Eckpunkte und ziehe dann die in der Aufgabe genannten Verbindungslinien, die letztlich eine dreieckige Pyramide ergeben.
Die Längen dieser Seitenlinien solltest du problemlos berechnen können (Pythagoras) - was fällt dir dabei auf...?
das volumen bestimmen
Auch ohne Bild:
Ohne Garantie für die Zahlenwerte
Die Rechnung geht nur leider nicht auf:
Dreiecksfläche: Woher kommen die √5 ? (-> √3 ! und davon dann nochmals die Hälfte)
Die Höhe der Pyramide ist mitnichten die halbe Raumdiagonale (-> √2 * √2 / √3)
Mea culpa (:-(((
Du hast Recht, ich habe mich gründlich verhauen
In meinem Bild ist BDE die Grundfläche und GB, GD und GE sind die Kanten der gesuchten Pyramide
Damit sollte die halbe Strecke von GA (=√3 / 2) die Höhe der Pyramide sein, oder sehe ich das falsch?
Die Höhe des Dreiecks BDE ist
√( (√2)² - (√2 / 2)²) = √1,5
und seine Fläche
√2 / 2 • √1,5
Damit wird das Volumen
V = (√2 / 2 • √1,5) • (√3 / 2) / 3 = 1/4
Das scheint mir auch viel logischer (;-)))
"Damit sollte die halbe Strecke von GA (=√3 / 2) die Höhe der Pyramide sein,..."
Wir haben es hier mit einem astreinen Tetraeder zu tun - ALLE Seiten sind sqr(2) lang. Dessen Höhe definiert sich mit
h = Seitenlänge * sqr (6) / 3 =
Seitenlänge * sqr(2) / sqr(3).
Mit der Seitenlänge von sqr(2) ergbt sich hiermit:
h = sqr(2) * sqr(2) /sqr(3) = 2 / sqr(3) -> nicht sqr(3) / 2
...naja... war schon spääät am Abend... und das ganze Gewurzelauszweie ist fast ein wenig verwirrend... ja, und das mit den sqr(5) hätt ich erstmal beinahe selber geschluckt... ;-)
Und wieder hast Du Recht.
Mein räumliches Vorstellungsvermögen ist offensichtlich doch sehr begrenzt.
Ich hätte erkennen sollen, dass in der Zeichnung meiner ersten Antwort die Kantenlängen der Pyramide mit der Grundfläche BDE und der Spitze bei A eben nicht √2, sondern 1 ist. Damit ist natürlich die Höhe der zu berechnenden Pyramide nicht die Hälfte der Raumdiagonale AG (= √3 / 2), sondern, wie Du schreibst 2/√3 .
Hier mein letztes Angbot (;-)))
V = (√2 / 2 • √1,5) • (2 / √3) / 3 = 1/3
Einverstanden ?
Die Grundfläche ist doch ein Dreieck, also kann sie so nicht rechnen.