Viereck in einem Rechteck, wann den kleinsten Umfang?

Hey,

ich bräuchte einen Ansatz bei dieser Aufgabe.
Ich hatte mir überlegt, dass ich vielleicht mit der Extremwertberechnung ran gehen könnte, aber komme aufgrund der vielen Variablen nicht wirklich weiter und hab auch keine Idee, wie man die Variablen mit Hilfe der anderen zu ersetzen um einige Variablen zu streichen.
Hat jemand eine Idee wie man vorgehen könnte?
Würde mich super dolle über Vorschläge freuen:)

Answer 1

[Bartosz11]

Das Viereck hat den kleinsten Umfang, wenn es ein Quadrat ist

$U\ =\ 2\cdot a+2\cdot b$ ist zu minimieren.

$A\ =\ a\cdot b$ umstellen

$a\ =\ \frac{A}{b}$ und oben einsetzen

$U=2\cdot\frac{A}{b}+2\cdot b$ ableiten nach b

$U'\ =\ \frac{-2\cdot A}{b^2}+2$ Mein Problem ist gerade, dass ich für A eine Zahl bräuchte. 😕

diese Ableitung nullsetzen, um das Extremum zu finden

$\frac{-2\cdot A}{b^2}+2=0$

b =

$b=\pm\sqrt{A}$ $U\ =\ 2\cdot a+2\cdot\sqrt{A}=0$ $a\ muss\ -\sqrt{A}\ sein$ (das Gegenteil von b). Und damit wird es ein Quadrat

Comments

[gauss58]

Das Rechteck ABCD könnte 10 m lang und 1 m breit sein. Da lässt sich kein inneres Quadrat konstruieren, welches alle 4 Seiten berührt.

[Bartosz11]

@gauss58

achso, du meinst das Quadrat muss auch gerade liegen, im Sinne dass die Kanten dessen zu dem äußeren Rechteck parallel sein müssen?

[gauss58]

@Bartosz11

Nein, das innere Viereck PQRS liegt schon schräg, aber es kann kein Quadrat sein, wenn der äußere Rahmen ABCD ein Rechteck ist. Am Beispiel eines langgestreckten Rechtecks wird das schnell plausibel. Möglich wäre eine Raute, wenn man die Mittelpunkte der Seiten des äußeren Rechtecks miteinander verbindet.

[noahr11]

Vielen dank! Und dann müssen die Punkte P, Q, R, S jeweils die Mittelpunkte auf den Rechteckseiten sein, damit das Viereck ein Quadrat wird? Muss ich das dann auch beweisen?

[Bartosz11]

@noahr11

Gerne ^^ P, Q, R, S sind die Ecken des Rechtecks (jetzt bewiesenermaßen des Quadrats). Das heißt, P zu Q ist gleich weit wie R zu S.

Meintest du das?

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Edit: Achso meinst du das...das Quadrat liegt dann quasi auf den Mittelpunkten des äußeren Rechtecks ja

Answer 2

[gauss58]

Verschiebe S und P nach A sowie R und Q nach C und berechne den Umfang des inneren Vierecks.

Verschiebe S, P, R und Q in die jeweilige Seitenmitte des Rechtecks und berechne den Umfang des inneren Vierecks.

Was fällt Dir auf?

Eine Lösung als Extremwertaufgabe ist möglich, wenn man AP = RC und AS = CQ setzt.