in einem Kreis mit dem Radius r ist ein Rechteck einzuschreiben. Wie groß müssen Länge a und Breite b des Rechtecks sein, um einen möglichst großen Umfang des?
erhalten
Dazu soll ich den Extremwert der Funktion berechnen, der den Umfang beschreibt.
zuerst schreibe ich Formel für das Rechteck (ab) und der Kreisfläche ( pir²)
so jetzt mein Problem ich hab jeweils 2 Unbekannte, daher ich muss eine Eleminieren. Allerdings sind es 4 verschiedene Variablen.. Was hab ich falsch gemacht?
4 Antworten
Mal ne Gegenfrage: Sollst du auch tatsächlich die Extremwertberechnung durchführen?
Wenn nicht, also wenn auch andere Lösungswege für diese Aufgabe zugelassen sind, dann habe ich folgenden Vorschlag für dich:
Beweise folgende Aussage:
Von allen möglichen in einem Kreis eingeschriebenen Rechtecken ist das mit gleichlangen Seiten also das Quadrat dasjenige, das sowohl die größte Fläche als auch den größten Umfang besitzt.
Um diese Aussage zu beweisen, musst du keine Extremwertberechnung durchführen, sondern nur ein paar logische Betrachtungen durchführen.
(Welche logischen Betrachtungen genau du machen musst, kriegst du raus, wenn Du dir mal die Antwort von CATFonts genauer anschaust. ;-)
Sagen wir mal, der Mittelpunkt des Kreises ist der Punkt (0/0) und der Radius ist r. Das Rechteck ist eingeschrieben,d.h. die Ecken des Rechteckes liegen allesamt auf dem Kreis. Gerade in diesem Beispiel muss man beachten, dass durch die Wahl eines einzigen Punktes auf dem Kreis dein Rechteck eindeutig definiert ist. Probier´s mal aus: Wähle einen Punkt des Kreises aus, dann sieht du, die anderen 3 Punkte ergeben sich (durch das "Durchziehen" - waagerecht sowie senkrecht, bis du die Kreislinie wieder berührst) von selbst. Je nach gewähltem Punkt mit den Koordinaten (x/y) hast du den Umfang = alle 4 Seitenlängen des Rechtecks = 4*Betrag(x) + 4*Betrag(y). Diesen Term musst du also durch Wahl von x und y maximieren. Beachte jetzt noch, dass der Punkt auf dem Kreis liegen MUSS, d.h. y des Punktes muss der Kreisgleichung entsprechen, wenn du x einsetzt. Dann bleibt nur noch x übrig und dann kommt der Rest mit dem Ableiten und Extremwert suchen...du weißt schon^^
Wenn es als Extremwertaufgabe gelöst werden soll, kannst Du die Abhängigkeit a²+b²=4r² nutzen.
Mit b = Wurzel(4r² - a²) kannst Du dann in den Ausdruck für dem Umfang 2*(a+b) einsetzen und lösen.
Geh das doch einfach mal mit den Extremen der möglichen Rechtecke an.
Der Grenzfall des schmalsten Rechteckes wäre ja a = 0 und b = 2r, damit dessen Umfang = 4r
Der andere Grenzfall ist a=b, und bei einem in den Kreis eingeschriebenen Quadrat ist a = b = r▪√2 also der Umfang = 4▪r▪√2 um sich dann wieder durch Verlängerung von a, verbunden mit der entsprechendebn Verkürzung von b dem Extremwert a = 2r und b = 0 zu nähern