Vektor * Funktion?

Guten Tag,

es geht um Selbstfrage 4.

Hier ist ja f ein Vektor aus R^n und g eine Funktion von R nach R.

Was soll (f g) denn sein? Vektor * Funktion wurde nicht definiert. Und Skalarmulitplikation passt ja auch nicht, denn dann müsste dort (g f) stehen.

Answer 1

[mihisu]

Mich wundert es nicht, dass du da vollkommen verwirrt bist. Die Aufgabe ist ja auch vollkommen fehlerhaft gestellt. Die ganze Aufgabe ergibt, so wie sie aufgeschrieben ist, keinen Sinn.

Wenn g eine Funktion...

$g:\ \mathbb{R}\to \mathbb{R}$

... ist, so ergeben die Terme...

$\frac{\partial g}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial g}{\partial x_n}$

..., die in der Lösung vorkommen überhaupt keinen Sinn, da g ja gar nicht von x₁ bis xₙ abhängen kann, sondern eine Funktion ist, die nur eine einzige reelle Komponente entgegennimmt.

Widerspricht sich auch...

$f\in\mathbb{R}^{n}$

...damit, dass die Komponenten fₖ Funktionen der Koordinaten xᵢ sein sollen.

============

Vermutlich geht es darum, dass...

$f: \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R^n},\quad \left(x_1, \dots, x_n\right)\mapsto \begin{pmatrix}f_1\left(x_1, \dots, x_n\right)\\\vdots\\f_n\left(x_1, \dots, x_n\right)\end{pmatrix}$

... ein Vektorfeld sein soll und...

$g:\ \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R},\quad \left(x_1, \dots, x_n\right)\mapsto g\left(x_1, \dots, x_n\right)$

... ein Skalarfeld sein soll.

Und f g soll dann vermutlich das Vektorfeld sein, welches man erhält wenn man g skalar mit f multipliziert, also wenn man jede Komponente von f mit g multipliziert.

$f\,g:\ \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^n,\quad \left(x_1, \dots, x_n\right)\mapsto \begin{pmatrix}f_1\left(x_1, \dots, x_n\right)\cdot g\left(x_1, \dots, x_n\right)\\\vdots\\f_n\left(x_1, \dots, x_n\right)\cdot g\left(x_1, \dots, x_n\right)\end{pmatrix}$

Anders kann ich mir auch die Lösung dazu nicht erklären.

Und wenn die f_k konstant sind, dann ist der obere Ausdruck doch null. Denn f_k nach x_k abgeleitet ist ja - da f_k konstant - null. Unten wiederum nicht, also nicht gleich für konstantes f.

Nein, es geht da wohl um...

$\frac{\partial f_ig}{\partial x_i}=\frac{\partial (f_i\cdot g)}{\partial x_i}$

..., was nach Produktregel...

$\frac{\partial f_ig}{\partial x_i}=\frac{\partial (f_i\cdot g)}{\partial x_i}=\frac{\partial f_i}{\partial x_i}\cdot g+f_i\cdot \frac{\partial g}{\partial x_i}$

... ergibt. Gemeint ist da die partielle Ableitung des Produktes fᵢ g; NICHT die partielle Ableitung von fᵢ und dann erst mit g multipliziert.

Comments

[TBDRM]

Hey,

kannst du mir bei noch einer Frage helfen?

https://www.gutefrage.net/frage/richtungsableitung-und-skalarprodukt

Sie handelt um eine Formel die Richtungsableitung und partielle Ableitungen mit dem Standardskalarprodukt in Verbindung setzt.

[TBDRM]

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Die Begriffe Vektor- und Skalarfeld wurden aber noch gar nicht eingeführt.

Ich glaube, diese Selbstfrage überspringe ich einfach.