Unterschied bei dem k (Mathe)?

Was ist der Unterschied wenn oben k² steht und unten k^3.

Answer 1

[mihisu]

Naja. Was ist denn beispielsweise der Unterschied zwischen 6² und 6³? Das eine ergibt 36, das andere 216. Und dementsprechend sind auch die beiden Summen unterschiedlich (zumindest für n > 1), da die Summanden unterschiedlich groß sind.

$\sum\limits_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+3^2+\ldots + n^2=1+4+9+\ldots + n^2$

$\sum\limits_{k=1}^{n}k^3=1^3+2^3+3^3+\ldots + n^3=1+8+27+\ldots + n^3$

======Ergänzung (siehe: Kommentar)=======

„wo ist bei der Gleichung ein k?“

Antwort: Siehe bei den im Folgenden rot markierten Stellen...

Comments

[emil319]

Aber bei mieinem Beispiel oben (neuergänzt), wo ist bei der Gleichung ein k?

[mihisu]

@emil319

wo ist bei der Gleichung ein k?

Ist das eine Fangfrage? Du siehst doch, wo da jeweils „k“ steht. Ich habe mal meine Antwort ergänzt und dir markiert, wo bei der Gleichung ein k ist. (Bzw. sieht man sogar an zwei Stellen „k“ stehen.)

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k ist hier der Summationsindex. Da unter dem Summenzeichen „k = 1“ und über dem Summenzeichen „n“ steht, wird bei der Summe jeweils k durch die ganzen Zahlen von 1 bis n ersetzt. So wird k² nach und nach zu 1², 2², 3², ..., n². Und die so entstehenden Zahlen summiert man dann.

Nachdem man die Summe ausgeschrieben hat, ist der Summationsindex auf der rechten Seite der Gleichung dann nicht mehr zu finden. Denn k war ja quasi nur ein Index, der die einzelnen Summanden durchzählt. Beim Einsetzen der Zahlen 1, 2, 3, ..., n wird k jeweils ersetzt und ist dann nicht mehr als „k“ zu finden, sondern eben als die jeweilige Zahl, die man dafür eingesetzt hat.

[emil319]

@mihisu

ach so. wenn n = 1 ist, dann ist das dann 1² + 1²? oder nur 1²

und wenn n = 2 ist, dann 1² + 2² oder?

[mihisu]

@emil319

Ja.

Bei n = 1 hätte man nur 1² (nicht 1² + 1²).

Bei n = 2 hätte man 1² + 2².

Bei n = 3 hätte man 1² + 2² + 3³.

Und so weiter.

(Also... Zumindest bei der Summe mit „k²“. Bei der Summe mit „k³“ wäre da natürlich jeweils eine 3, statt einer 2, im Exponenten.)

[emil319]

@mihisu

und 1² + 2² + ... + n² soll das gleiche darstellen wie die Gleichung neben an oder wie darf man das verstehen?

[mihisu]

@emil319

Ja, die Summe mit den Summanden k² für k von 1 bis n [was auf der linken Seite steht] ist gleich 1² + 2² + 3² + ... + n² [was in der Mitte steht]. Und das ist auch gleich n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1)/6 [was auf der rechten Seite steht]. [Diese Gleichheit gilt für alle natürlichen Zahlen n.]

Dass das Linke bzw. Mittlere gleich dem Rechten ist, kann man beispielsweise mit vollständiger Induktion beweisen. [Bzw. kannst du auch mal eine konkrete Zahl für n einsetzen, beispielsweise n = 6 und einerseits die linke bzw. mittlere Seite ausrechnen, und andererseits die rechte Seite ausrechnen. Du wirst feststellen, dass du dann die gleiche Zahl erhältst.]

[emil319]

@mihisu

Genau, also bei der vollständigen Induktion muss man ja zuerst das kleinste n wählen. Ist das in dem obigen Beispiel n = 1 oder n = 2?

[mihisu]

@emil319

Die Aussage soll für alle n ∈ ℕ gelten. Was ist die kleinste Zahl in ℕ, 1 oder 2?

---> Induktionsanfang ist hier n = 1. [Oder sogar n = 0, wenn ihr ℕ mit enthaltener 0 definiert habt.]

Answer 2

[Halbrecht]

oben wird 1 + 4 + 9 + 16 usw
unten wird 1 + 8 + 27 + 64 usw zusammengezählt .

k ist ein Laufindex
k fängt bei 1 an .........k²...........1*1 , also 1
dann k = 2 ...........k²............2*2 , also 4

.

Was sollte sonst hinter dem Summenzeichen stehen ?

$\sum_{ }^{ }n^2\$ reicht nicht , aber sowas wäre auch möglich

$\sum_1^n\ n^2\$

Answer 3

[Saugbagger2000]

k² ist k zum Quadrat, d.h. k×k.

k³ ist die dritte Potenz von k, d.h. k×k×k.

Das große Sigma ist ein Summenzeichen. Du summierst also von 1 bis n auf.