Uneigentliche Rotationskörper?

Aufgabe 16a)

Ich hänge leider schon beim ausrechnen von (2e^-x/2)^2 und die Stammfunktion wäre auch hilfreich😅.

P.s: Über eine Erklärung (Rechenweg) würde ich mich freuen :)

Answer 1

[Plejaden123]

Es gilt :

Fuer einen Rotationskoerper, gilt die Formel fuer den Rotationsvolumen

$f\left(x\right)=2\cdot e^{-\frac{x}{2}}$ $\left(f\left(x\right)\right)^2=4\cdot e^{-x}$

Substituieren der Werte (a, b) in Zusammenhang mit den Definitions Intervall [1, oo), bzw. :

$a=1\ ,\ b=oo$

Durch o.g. kann jetzt ein Definierter Integral aufgestellt werden :

$V=\pi\cdot def\left[1,\ oo\right)\int4\cdot e^{-x}\cdot dx=4\cdot\pi\cdot def\left[1,\ oo\right)\int e^{-x}\cdot dx$ $\left|-x=t\ \ \ ->\ dx=-dt\ \right|$

Der o.g. muss jetzt neu Definiert werden, da -x mit t Substituiert wurden ist :

$\left|def\left[1,\ oo\right)\ ->\ t\left(1\right)=-oo\ ,\ t\left(2\right)=-1\ \right|$ D.h. t(1), t(2) ist der neu Definitions Intervall.

Neuer Integral durch o.g. substituieren :

$V=-4\cdot\pi\cdot def\left[-1,\ -oo\right)\int e^t\cdot dt=-4\cdot\pi\cdot\left[e^t\right]\left\{t\left(1\right)=-oo\ ,\ t\left(2\right)=-1\right\}$

$V=-4\cdot\pi\cdot\left(e^{-oo}-e^{-1}\right)\ ->\left|e^{-oo}=\frac{1}{e^{oo}}=0\right|\$

Also gilt :

$V=4\cdot\pi\cdot e^{-1}=\frac{4\cdot\pi}{e}$

Beweis :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+4*pi*e%5Et+dt+from+t%3D-infinite+to+t%3D-1

Answer 2

[danielschnitzel]

https://www.integralrechner.de/

hier kannst du dich immer kontrollieren. Und es zeigt dir den Rechenweg an. Allerdings solltest du auch wissen wie man das einträgt in den Rechner (allgemein in Taschenrechner). Was du da geschrieben hast ist falsch.

(2e^-x/2)^2.. richtig wäre: 2e^(-x/2)^̶2̶̶ ̶
die Klammer stand falsch und es gibt kein ^2 in dieser Aufgabe.

Für mathematische Grundlagen empfehle ich ViaMINT. Das wird für Studenten entwickelt und wiederholt die komplette Schulmathematik. Du bekommst immer Erklärungsvideos und nach 2-4 Sequenzen einen Zwischentest, der danach komplett aufgelöst wird. Zum Abschluss nochmal einen Test und eine Zusammenfassung. Sehr hilfreich - wer die Grundlagen kann, tut sich auch nicht mehr mit sowas schwer.
Ist allerdings 2-4 Wochen Arbeit, da das sehr umfangreich ist.

Zurück zu deiner Funktion. Du kannst sie nach den normalen Regeln einer verketteten Funktion integrieren. Bedenke, dass die Ableitung und Stammfunktion von e e ist.

Comments

[Wechselfreund]

(2e^-x/2)^2.. richtig wäre: 2e^(-x/2)^̶2̶̶ ̶

die Klammer stand falsch und es gibt kein ^2 in dieser Aufgabe.

Rotationsvolumen!

Answer 3

[berndao2]

machs einfach wie obendrüber in dem beweis:
erst
integral 1 bis k von (2*e^(-0.5*x))^2 dx
bestimmen.
Und dann den grenzwert davon für k gegen unendlich betrachten.
bei b) sind die grenzen -k und 0.
und bei c wieder 1 und k.

simpel aber einfach.
Wenn du das obendrüber verstehst, weißt du auch hier wie das geht :-)

Answer 4

[MatthiasHerz]

Anwendung der Potenzregeln, siehe https://www.formelsammlung-mathe.de/potenzen.html .