Trigonometrie Spezialfall?
Guten Tag
Wie weiss ich dass bei einer Aufgabe 2 Mögliche sinus gibt(Beispiel unten) ?
Vielen Dank
4 Antworten
Dieser Sachverhalt war für mich überraschend !
Wie rausfinden ?
Über die Kongruenzsätze ( 4 Stück ) beim Dreieck .
Wenn das Dreieck in der Aufgabe nicht zu einem KS passt ,dann gibt es zwei Möglichkeiten !
Infrage kommen hier nur zwei, weil sie genau einen Winkel benötigen :
SWS--- zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel - NEIN
und
SSWg---
Wenn mehrere Dreiecke in den Längen zweier Seiten und im Betrag des Winkels, der der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen, dann sind sie kongruent. - NEIN , denn gamma liegt c , der kürzeren Seite gegenüber.
Der Sinus ist eine periodische Funktion, es gibt unenlich viele Winkel, die den gleichen Sinus haben!
der Zusammenhang sin(a) = sin (180 - a) gilt allgemein!
Bei einer konkreten Aufgabe muss man überlegen, welche der unendlich vielen Winkel sinnvoll sind.
der Zusammenhang sin(a) = sin (180 - a) gilt allgemein!........Ich sehe keine Möglichkeit, wo mehr als zwei Dreiecke bei den gegeben Daten möglich sind ( Gemäß Dreieckskonstruktion ) . Deshalb habe ich mit den Kongruenzsätzen argumentiert.
Irgendwelche Widersprüche ?
Der Fall SSW ist nicht eindeutig, wenn der der kleineren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben ist. Das ist hier der Fall. Insofern können auf Basis der gegebenen Werte 2 Dreiecke konstruiert werden mit alpha1, beta1 und b1 sowie mit alpha2, beta2 und b2. Bei eindeutigen Fällen hilft eine Skizze bzw. eine Summenprobe, um zu prüfen, ob ein stumpfer Winkel vorhanden ist.
Mit Summenprobe meine ich die Winkelsumme im Dreieck. Also hier:
34,6° + 83,0° + 62,4° = 180°
34,6° + 117,6° + 27,8° = 180°
Aber wie gesagt, im vorliegenden Fall sind beide Lösungen richtig. Beim eindeutigen Fall (SSW mit dem der größeren Seite gegenüberliegendem Winkel) kann die Summenprobe helfen, den zutreffenden Winkel für den mehrdeutigen Sinuswert zu finden.
hier ist die Summenprobe nur für die Endkontrolle ( habe ich alles richtig gerechnet ) wichtig . Entscheidend ist , ob der Winkel bei SSW der kürzeren Seite gegenüber liegt . Das ist hier der Fall : Gamma liegt c gegenüber und c ist mit 19,8 cm kürzer als a mit 30,9 cm.
Man kann das sich auch durch Konstruktion verdeutlichen ( dran glauben :)) ) :
Man konstruiert erst a , trägt gamma an mit einem freien Schenkel und schlägt einen Kreis um Punkt A mit c = 19,8 cm . Der schneidet den freien Schenkel an zwei Stellen , daher sind 2 Dreiecke möglich . . Wenn a kürzer c , gäbe es nur einen Schnittpunkt, denn der zweite würde über C liegen müssen , wo kein Schenkel mehr ist .
würdest du dann meiner antwort zustimmen ?
Konstruieren kann man bei den angaben auf jeden Fall 2 Dreiecke .
was wäre wenn man ssw mit dem winkel der grösseren seite hätte
Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß und die 2 Seiten gleich lang
Guck Dir Dein Geodreieck an...
ich verstehe nicht wie ich die summenprobe bei einem solchen dreieck anwenden kann
in diesem fall wäre dies ja : 180 - 90 -62.39 = kein stumpfer winkel