Trigonometrie Regeln?
Hallo, wir haben gerade das Thema Trigonometrie was eigentlich nicht schwer ist nach Meinung anderer abef ich verstehe es nicht . Bsp ist ein Dreieck gegeben mit bestimmten Seiten & Winkeln dann sitze ich da und weiss 1. nicht was ich überhaupt rechnen soll & 2. auch nich wie. Kann mir jemand sagen wie die „Regeln“ dafür lauten ?Wenn bsw. Winkel Alpha & Beta und seite b gegeben sind?
Danke:)
2 Antworten
Du guckst dir das Dreieck einfach an und bedenkst die Namen der Seiten.
Dem rechten Winkel gegenüber liegt die Hypotenuse, die ihr noch eine Weile mit c benennt. (Später ändert sich das, und du musst den Begriff Hypotenuse kennen!)
Die beiden kurzen Seiten heißen Katheten.
Dabei ist die Kathete gegenüber einem der Winkel α und ß (die auch nicht ewig so heißen werden) immer die zugehörige Gegenkathete. Die am Winkel liegt, ist die Ankathete. Dabei ist a Gegenkathete von α und b die von von ß.
Es ist also klar, dass die Gegenkathete des einen immer die Ankathete des anderen Winkels ist. (Dem Winkel γ (gamma) liegt gar keine Kathete gegenüber, denn da ist ja die Hypotenuse. Er heißt auch gar nicht γ, sondern nur: rechter Winkel,)
Kommen wir zu den drei Seitenverhältnissen, wobei ich die Standardnamen verwende. Was Sinus, Kosinus und Tangens ist, weißt du ja, wie du sagst.
Triginometrieaufgaben an der Basis gehen immer folgendermaßen:
du rechnest aus zwei Größen die dritte aus.
Dafür musst du eben die Namen wissen. Du betrachtest aber alle drei Größen.
Beteiligt sind z.B. die Gegenkathete von ß, die Hypotenuse und der Winkel ß.
sin ß = b/c
Das ist die einzige Funktion, die dazu passt.
Wenn du b oder c damit ausrechnen willst, musst du eine Äquivalenzumformung machen:
b = c * sin ß
c = b / sin ß
Bei diesen grundsätzlichen Aufgaben sind immer nur ein Winkel und zwei Seiten dabei! Deine abschließende Frage wird also erst später zu beantworten sein (Sinussatz).
Ich versuche, Dir zu zeigen, wie Du Trigonometrie lernen und verstehen kannst. Da ich ganz vorne und mit Grundideen anfange, dauert das etwas... Hol Dir vielleicht eine Tasse Kaffee oder Tee und lies dann in Ruhe weiter - mache falls noetig auch Pausen :)
Lernhinweis: Zuerst einen wichtigen Lernhinweis fuer Trigonometrie: Denke wann immer es geht in Worten oder Geschichten anstatt in Symbolen und merke Dir Zusammenhaenge in Worten und keinesfalls in Symbolen! Etwas wie "sin(α) = a/c" sieht zwar mathematisch aus, aber es bedeutet nichts. In Deinem Kopf sollte es am Ende eher so aussehen: "Sinus eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck = Laenge der Gegenkathete des Winkels geteilt durch die Laenge der Hypotenuse des Dreiecks." Aber so weit sind wir noch nicht...
Dreiecke, warum? Wir beschaeftigen uns mit Dreiecken, da diese (meist in gedachter Form) in Anwendungen immer wieder aufauchen. Auf Bauplaenen, wenn man Punkte im Raum "anpeilt", beim Auffinden von Schwerpunkten etc. Das Dreieck ist die grundlegende und einfachste geometrische Form; Vier-, Fuenf- und alle weiteren Vielecke lassen sich in einzelne Dreiecke zerlegen. Wenn wir also verstehen wuerden, wie man aus bekannten Groessen in einem Dreieck weitere Groessen berechnen kann, dann wuerde uns das z.B. in obigen Anwendungen sicherlich helfen.
Nur Formeln und Regeln? Warum erzaehle ich Dir das? Du willst vielleicht "nur" eine Aufgabe fuer ein gegebenes Dreieck loesen und wissen, welche Rechenregeln Du anwenden sollst? Nun ja, unser Gehirn lernt nunmal nicht gerne willkuerliche Regeln und Begriffe. So kann es passieren, dass Du "einfach nicht weisst, was Du machen sollst", obwohl Du wahrscheinlich alle benoetigten Formeln gezeigt bekommen hast. Wenn Du Trigonometrie anwenden koennen willst, dann musst Du eine Art inhaltliche Beziehung zu den Formeln aufbauen; es reicht nicht aus, eine Formel als etwas zu betrachten, in das man Werte einsetzt. Man muss die Bedeutung dahinter und auch Beispiele fuer Anwendungen kennen - erst dann kannst Du mit den Formeln wirklich umgehen!
Vereinfachen: Wenn man sich mit ganz allgemeinen Dreiecken beschaeftigt, dann stellt man schnell fest, dass es wirklich "viele" von ihnen gibt, d.h. dass sie wirklich sehr verschieden aussehen koennen. Das fuehrt dazu, dass man recht viele Groessen kennen muss, um weitere auszurechnen. Man stellt aber auch fest, dass eine besondere Art von Dreieck haeufig aufzutauchen scheint, naemlich das rechtwinklige Dreieck. Das koennte daran liegen, dass wir gerne in rechten Winkeln bauen (Haeuser ragen eben meist senkrecht nach oben, Raume sind oft quaderfoermig etc.). Um also nicht gleich ein so umfangreiches Problem vor sich zu haben, beschraenkt man sich zunaechst auf die Untersuchung rechtwinkliger Dreiecke.
Eine Beobachtung: Warum benutzt man eigentlich Winkel, um in Dreiecken zu rechnen? Schau Dir mal folgende Skizze an:
Zu sehen sind zwei rechtwinklige Dreiecke, ein schwarzes und ein gruenes. Sie haben den Winkel α gemeinsam. Ausserdem habe ich jeweils der Gegenkathete (a bzw. c) und der Ankathete (b bzw. d) Namen gegeben. Das gruene Dreieck koennte man erhalten, indem man das schwarze vergroessert.
Mathematisch bedeutet "vergroessern", dass man alle Seitenlaengen des schwarzen Dreiecks mit einer Zahl, nennen wir sie g, multipliziert. Waere g=2, wuerde man ein doppelt so grosses Dreieck erhalten, waere g=3 eben ein dreimal so grosses usw.
In meiner krakeligen Skizze oben wuerde ich schaetzen, dass man etwa g=1,7 benoetigt, um vom schwarzen zum gruenen Dreieck zu kommen. Es gelten also die beiden "Vergroesser-Beziehungen" c = a*g und d = b*g. Denke darueber ein bisschen nach, wenn es Dir nicht sofort klar ist!
Was passiert nun, wenn man jeweils die Laenge der Gegenkathete durch die Laenge der Ankathete teilt? Rechnen wir nach:
c/d = (a*g)/(b*g) = a/b (hier wurde mit g gekuerzt)
Aha! Es kommt in beiden Dreiecken dasselbe Verhaeltnis heraus, c/d = a/b. Aufgabe: Miss auf Deinem Bildschirm die Laengen nach und ueberpruefe, ob c/d wirklich dasselbe ergibt wie a/b! Das sollte trotz der krakeligen Skizze in etwa hinhauen :)
Das ist die entscheidende Beobachtung: In allen rechtwinkligen Dreiecken, die diesen Winkel α gemeinsam haben, kommt dasselbe heraus, wenn man die Laenge der Gegenkathete durch die Laenge der Ankathete teilt.
Tangens & Co.: Wenn "Gegenkathete durch Ankathete" fuer einen gegebenen Winkel α in einem rechtwinkligen Dreieck also immer dasselbe ergibt, dann koennte man sich diesen Wert ja einmal ganz genau bestimmen (durch eine sehr genaue Skizze und Nachmessen beispielsweise) und dann "merken".
Natuerlich kann man nicht alle solchen Werte auswenig kennen - dafuer gibt es die Tangens-Taste auf Taschenrechnern. Wenn Du z.B. tan(20°) eingibst, erhaelst Du in etwa den gemerkten Wert 0,364. Aufgabe: Zeiche ein moeglichst grosses rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von 20°. Miss dann die Laengen von Gegenkathete und Ankathete, teile sie durcheinander und vergleiche Dein Ergebnis mit dem gemerkten Ergebnis des Taschenrechners.
Ich habe obige Beobachtung anhand von Gegenkathete und Ankathete erklaert. Genau dasselbe funktioniert aber unabhaengig davon, welche beiden Seiten man betrachtet. Man haette auch Gegenkathete und Hypothenuse oder eben Ankathete und Hypotenuse nehmen koennen. Die mathematischen Bezeichnungen sind wie folgt:
- Sinus(Winkel) = Laenge Gegenkathete / Laenge Hypotenuse
- Kosinus(Winkel) = Laenge Ankathete / Laenge Hypotenuse
- Tangens(Winkel) = Laenge Gegenkathete / Laenge Ankathete
Was muss man auswendig lernen? Vielleicht fragst Du Dich, warum man die Laengen jeweils genau so durcheinander teilt und nicht andersrum? Warum rechnet man beim Tangens nicht Ankathete durch Gegenkathete? Nun ja, prinzipiell spraeche da nichts dagegen. Damit man untereinander kommunizieren kann, vereinbart man einheitliche Begriffe, damit jeder weiss, wovon die Rede ist. Die drei oben genannten Definitionen sind in diesem Fall, worauf man sich geeinigt hat. Dafuer gibt es keinen speziellen Grund. Diese drei Definitionen musst Du daher auswendig lernen.
Los geht's! Bisher haben wir eine (sehr wichtige!) Beobachtung an Dreiecken gemacht und darauf aufbauend drei neue Begriffe definiert, naemlich Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels. Eigentlich wollten wir aber doch fehlende Groessen in Dreiecken bestimmen?! Das machen wir nun anhand eines Beispiels. Schau Dir folgende Skizze an:
Du stehst auf einem Berg im Gebirge und kannst das schimmernde Gipfelkreuz auf einem weit entfernten Berg sehen. Im Tal kannst Du ausserdem einen kleinen See erkennen. Du hast eine Landkarte zur Verfuegung und ausserdem einen Kompass mit Peilfunktion. Kannst Du ungefaehr die Hoehe des Berges bestimmen?
Bergvermessung: Ich zeige Dir, wie ich an Deiner Stelle vorgehen wuerde: Zuerst bestimme ich, auf welcher Hoehe ich mich im Vergleich zum Tal befinde:
Ich habe der Landkarte entnommen, dass der See Luftlinie 7km von meinem Standpunkt entfernt ist. Den See sehe ich beim Anpeilen unter einem Winkel von 20°. Ich weiss nun, dass tan(20°) = h / 7km gilt. Das bedeutet aber ja, dass h = tan(20°) * 7km gelten muss! Da ich keinen Taschenrechner als Hilfsmittel habe, mache ich wie oben in der Aufgabe eine Skizze und bestimme zeichnerisch den Wert von tan(20°). Ich erhalte ungefaehr 0,36. Also gilt h = 0,36 * 7km = 2,52km.
Nun peile ich das Gipfelkreuz an, das ich unter einem Winkel von 4° sehe. Laut Landkarte ist es 21km entfernt:
Nun weiss ich tan(4°) = h / 21km, also h = tan(4°) * 21km. Ich bestimme also zeichnerisch tan(4°) und erhalte 0,07. Damit gilt h = 0,07 * 21km = 1,47km. Insgesamt muss der andere Berg also 1,47km + 2,52km = 3,99km hoch sein.
Da ich natuerlich die Winkel nicht ganz genau gemessen habe und meine Skizzen auch etwas ungenau waren, nehme ich dieses Resultat nicht sooo genau. Mein Endergebnis waere also, dass es sich etwa um einen Viertausender handelt. Ich waere aber nicht ueberrascht, wenn der Berg am Ende nur 3900m hoch waere oder vielleicht auch 4200m.
Zusammenfassung: Wir haben gesehen, dass Seitenverhaeltnisse in rechtwinkligen Dreiecken mit einem weiteren gemeinsamen Winkel unabhaengig von der Groesse des Dreiecks immer gleich sind. So kommt man auf die Begriffe Sinus, Kosinus und Tangens, deren Werte man fuer einen gegebenen Winkel zeichnerisch oder mit einem Taschenrechner bestimmen kann. Im Beispiel zur Vermessung eines Berges war der Tangens hilfreich. Aufgabe: Suche Dir zwei weitere Beispielaufgaben - je eine fuer den Sinus und den Kosinus - und merke sie Dir.
