Partielle Ableitung bei Bestimmung der Viskosität (Fehlerrechnung)?

Hallo,

bei der Fehlerfortplanzung soll zur Berechnung die partielle Ableitung r (kleiner Radius des Glasrohres durch das Flüssigkeit fließt) nach R (großer Radius des oberen Vorratsgefäßes zur "Einfüllung"), nach ln (h1/h2) (Makierungen bei denen im Vorratsgefäß gemessen wird, bis ein bestimmter Flüssigkeitsbereich nach einer gewissen Zeit erreicht wird), nach l (Länge des Glasrohres), sowie nach t (Zeit) gebiltet werden. Die Formel zur Berechnung des Radius r lautet:

Bin leider mit dieser Art Ableitung etwas überfordert. Ich kenne zwar an sich die Ableitungsregeln, aber ich komme hier irgendwie nicht drauf

Comments

[evtldocha]

Ich kann das kaum lesen - steht da:

$r=\sqrt{\frac{8\cdot\eta\cdot l\cdot R^2\cdot\ln\left(h_1h_2\right)}{\rho\cdot g\cdot t}}$

[lauderdaile2241]

Ja genau. Sry habe es leider nicht schärfer bekommen.

Answer 1

[evtldocha]

Ich würde dann zur Vermeidung jeglicher "Selbstverwirrung" im Funktionsterm (hinsichtlich der partiellen Ableitung) Konstante und Variable separieren, ableiten und evtl. wieder zusammenfassen - das geht hier wunderbar, da man es nur mit Produkten und Quotienten zu tun hat und man stets von Potenzgesetz $\sqrt{ab}=\left(a\cdot b\right)^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$

Gebrauch machen kann.

Zuvor aber lege ich zur Vereinfachung der Schreiberei fest $\alpha\ :=\ \ln\left(\frac{h_1}{h_2}\right)$

Damit ist: $r=\sqrt{\frac{8\cdot\eta\cdot l\cdot R^2\cdot\alpha}{\rho\cdot g\cdot t}}$

Beispiele:
Partielle Ableitung nach R:

$\frac{\partial r}{\partial R}=\sqrt{\frac{8\cdot\eta\cdot l\cdot\alpha}{\rho\cdot g\cdot t}}\frac{\partial}{\partial R}\sqrt{R^2}=\sqrt{\frac{8\cdot\eta\cdot l\cdot\alpha}{\rho\cdot g\cdot t}}\frac{\partial}{\partial R}R\ =\sqrt{\frac{8\cdot\eta\cdot l\cdot\alpha}{\rho\cdot g\cdot t}}$

Partielle Ableitung nach α:

$\frac{\partial r}{\partial\alpha}=\sqrt{\frac{8\cdot\eta\cdot l\cdot R^2}{\rho\cdot g\cdot t}}\frac{\partial}{\partial\alpha}\sqrt{\alpha}=\sqrt{\frac{8\cdot\eta\cdot l\cdot R^2}{\rho\cdot g\cdot t}}\frac{\partial}{\partial\alpha}\alpha^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{8\cdot\eta\cdot l\cdot R^2}{\rho\cdot g\cdot t}}\alpha^{-\frac{1}{2}}=$ $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{8\cdot\eta\cdot l\cdot R^2}{\rho\cdot g\cdot t}}\cdot\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{8\cdot\eta\cdot l\cdot R^2}{4\cdot\rho\cdot g\cdot t\cdot\alpha}}$

Die restlichen Ableitungen kannst Du nun selbst machen.

Comments

[lauderdaile2241]

Vielen dank für die ausführliche Antwort. Ja, das mit der Anwendung der Potenzregeln und das man die variable, nach der abgeleitet wird, einfach aus der Wurzel ziehen kann, macht es um einiges einfacher.

Was mir noch aufgefallen ist, dass aber zur weiteren Berechnung der Fehlerfortpflanzung per Addition noch die jeweiligen absoluten Fehler der einzelnen Größen nicht gegenben ist. Ich könnte mir vorstellen, dass man diese durch die Formel mit der errechneten Standwartweichung geteilt durch Wurzel n (Anzahl der Messungen) herausfinden und somit als Referenztwert nehmen kann. Oder liege ich da falsch? Müsste man den absoluten Fehler aufgrund von Erfahrungswerten sonst schätzen?